Você prende uma corda de massa de 2 Kg , e comprimento de 4 metros, a uma parede. Seu colega faz o mesmo, a corda dele tem o mesmo comprimento de 4 metros, mas uma massa de 1 Kg . Você exerce uma tensão de 2 N na sua corda, enquanto seu colega exerce uma tensão de 1 N . Em
, você e seu colega começam a mover a extremidade da corda para baixo e para cima, repetindo o movimento a cada 0.4s. Você e seu colega deslocam a corda para cima no máximo em 20 cm .
(a) Seu colega diz que as ondas geradas por ele chegarão primeiro à parede. Você concorda com essa afirmação? Justifique.
(b) Qual a frequência e comprimento de onda da onda geradas por você? E pelo seu colega?
(c) Considerando que as ondas geradas por você são harmônicas, e, em t=0s, a corda está completamente esticada, encontre uma expressão para a onda gerada por você. (Para facilitar, considere que você está em
e a parede está à direita). Faça também um esboço da curva de deslocamento para
(d) Considerando que a corda do seu colega está amarrada na parede fixamente, há pontos da corda dele que nunca se movem? Se sim, encontre as posições em que eles se localizam (Considere que seu colega está em
e a parede está à direita).
(a) Seu colega diz que as ondas geradas por ele chegarão primeiro à parede. Você concorda com essa afirmação? Justifique.
(b) Qual a frequência e comprimento de onda da onda geradas por você? E pelo seu colega?
(c) Considerando que as ondas geradas por você são harmônicas, e, em t=0s, a corda está completamente esticada, encontre uma expressão para a onda gerada por você. (Para facilitar, considere que você está em
(d) Considerando que a corda do seu colega está amarrada na parede fixamente, há pontos da corda dele que nunca se movem? Se sim, encontre as posições em que eles se localizam (Considere que seu colega está em
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá. Vou listar tudo de forma bem clara para não nos perdermos.
-
Dados comuns (suas cordas e a do colega):
- Comprimento de cada corda:
. - Amplitude máxima do movimento da extremidade:
. - Período do movimento imposto na extremidade:
(pois repetem a cada ). - Portanto a frequência é
(vai ser calculada depois).
- Comprimento de cada corda:
-
Dados específicos:
- Sua corda:
- Massa total
. - Tensão
.
- Massa total
- Corda do colega:
- Massa total
. - Tensão
.
- Massa total
- Sua corda:
-
Situação temporo-espacial:
- Em
começam a oscilar as extremidades. - Para (c) você está em
e a parede (extremidade presa) está para a direita em . - Para (d) o colega está em
e sua parede fixa está à direita em .
- Em
-
O que cada item do enunciado pergunta:
- (a) Quem chega primeiro à parede: as ondas geradas por você ou as do colega? Justifique.
- (b) Calcular a frequência e o comprimento de onda gerados por você e pelo colega.
- (c) Assumindo ondas harmônicas suas, com a corda no instante
completamente esticada, encontrar uma expressão para a onda que você gera (você em , parede à direita). Fazer também um esboço (i.e., descrever a forma) do deslocamento no ponto . - (d) Considerando que a corda do colega está amarrada fixamente na parede (em
), existem pontos que nunca se movem (nós)? Se sim, encontrar as posições (colega em , parede à direita).
A partir daqui começamos a resolver passo a passo.
Passo 2
Velocidade de propagação numa corda — conceito e aplicação (resposta do item (a)).
- Aula rápida: a velocidade de propagação de ondas transversais numa corda tensa é dada pela fórmula
onde:
-
é a tensão na corda (em newtons). -
é a densidade linear de massa da corda (massa por comprimento), ou seja
com
massa da corda e
comprimento.
-
Vamos calcular
de cada corda: - Sua corda:
- Corda do colega:
-
Agora a velocidade em cada corda:
- Sua corda:
- Corda do colega:
-
Interpretação e resposta de (a):
- As duas velocidades são iguais:
. - Conclusão: as ondas geradas por vocês dois chegam à parede ao mesmo tempo — não é verdade que as do colega chegam primeiro. A razão é que a meia-razão entre tensão e densidade linear deu o mesmo valor para ambas (mesma razão
), por isso a mesma velocidade.
- As duas velocidades são iguais:
Passo 3
Frequência e comprimento de onda — teoria e cálculo (resposta do item (b)).
-
Aula rápida: relação entre período
, frequência , velocidade e comprimento de onda : - Frequência e período:
- Relação fundamental da onda:
-
Calculando a frequência (mesma para os dois, porque ambos movem a extremidade com o mesmo período):
-
Comprimento de onda de cada um (usando
): -
Resumo para (b):
- Tanto você quanto o colega têm
e .
- Tanto você quanto o colega têm
Passo 4
Montando a expressão da onda harmônica que você gera (item (c)): escolher forma, parâmetros e justificar fase.
-
Aula rápida sobre formas de onda viajante:
- Uma onda harmônica que se propaga para a direita pode ser escrita como
onde:-
é a amplitude (metros). -
é a frequência angular: (rad/s). -
é o número de onda: (rad/m). -
é a fase inicial (rad). - Outra forma equivalente, útil quando queremos que
, é
- Para escolher a fase corretamente precisamos olhar as condições iniciais: o enunciado diz que em
a corda está “completamente esticada” e que você começa a mover a extremidade para cima, com amplitude máxima . Interpretamos que no instante a extremidade em está em deslocamento zero e então se move para cima (isto é, e ). A escolha
satisfaz exatamente isso: emvale zero e tem velocidade positiva (vai para cima). -
Calculamos
e :
- Assim podemos escolher a forma simples
que representa uma onda com amplitude , propagando-se para a direita, com as condições iniciais desejadas em .
Passo 5
Esboço do deslocamento no ponto
(continuação do item (c)) — calcular a expressão temporal nesse ponto e dar pontos-chave para desenhar.
-
Substituímos
em : -
Use trigonometria:
. Assim -
Então no ponto
a vibração é uma senoide de amplitude e período , porém invertida de fase em relação a . -
Pontos-chave (para esboçar
ao longo do tempo, lembrando que e quartos de período valem ): -
: . -
(um quarto de período): (valor mínimo, máximo para baixo). -
(meio período): . -
: (valor máximo para cima). -
: (um ciclo completo).
-
-
Descrição do esboço: uma senoide com amplitude
, período , começando em zero e inicialmente dirigindo-se para baixo (porque a fase invertida dá ). Esses cinco pontos permitem desenhar uma boa curva temporal em .
Passo 6
Pontos que nunca se movem (nós) na corda do colega com a extremidade amarrada na parede (item (d)) — teoria da reflexão e derivação das posições.
-
Aula rápida sobre reflexão em extremidade fixada e formação de padrão estacionário:
- Uma onda incidente que atinge uma extremidade fixa sofre reflexão com inversão de fase (mudança de sinal) e mesma amplitude.
- A soma da onda incidente e da onda refletida pode dar origem a uma onda estacionária cuja forma espacial depende de
ou de . - Para a situação com parede fixa em
e coordenada medida desde a extremidade onde está o colega ( ), uma forma prática é escrever a superposição (mostrando a idéia) que leva à dependência espacial:
- Nós (pontos que nunca se movem) ocorrem quando a parte espacial é sempre zero, isto é quando
- Isso implica
e, lembrando que, obtemos -
Aplicando ao caso do colega:
- Temos
e , então . - As posições dos nós são
- Listando todas as posições dentro do intervalo
: -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Temos
-
Observação física importante (leitura crítica): o cálculo mostra que, para esses parâmetros,
aparece como nó ( ). Na prática, se o colega de fato está movendo a extremidade em com amplitude, esse extremo não poderá ser um nó (pois o nó tem deslocamento sempre nulo). Essa aparente contradição indica que: - ou estamos descrevendo as posições de nós de um padrão estacionário formado pela superposição de ondas incidentes e refletidas quando as amplitudes e fases permitem isso (situação idealizada),
- ou o movimento imposto na extremidade força uma condição de contorno que modifica a amplitude relativa das ondas incidente/refletida.
- De qualquer forma, matematicamente as posições acima são os pontos onde uma onda estacionária formada por reflexão na parede teria nós. Para fins da questão pedida (encontrar posições dos nós), as posições listadas são a resposta.
Resposta
(a) Não. As ondas dos dois cabos chegam ao mesmo tempo, pois
.
(b) Para ambos:
e
.
(c) Expressão da onda gerada por você:
Em
:
isto é, uma senoide de amplitude
e período
, com valores chave
,
,
,
, etc.
(d) Sim. Os nós (pontos que não se movem) da corda do colega estão em
isto é, nas posições (em metros):