Um líquido menos denso, com densidade \rho_{1}, flutua sobre um líquido mais denso, com densidade \rho_{2}. Um cilindro uniforme de comprimento l e densidade \rho, \operatorname{com} \rho_{1}<\rho<r h_{2}, flutua na interface com seu eixo longo na vertical. Que fração de seu comprimento está imersa no líquido mais denso?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar que fração do comprimento do cilindro está imersa no líquido mais denso.
Informações fornecidas:
  • Densidade do líquido superior (menos denso): \rho_{1}.
  • Densidade do líquido inferior (mais denso): \rho_{2}.
  • Densidade do cilindro uniforme: \rho, com \rho_{1}<\rho<\rho_{2}.
  • Comprimento do cilindro: l.
  • O cilindro flutua com o eixo longo na vertical e intersecta a interface entre os dois líquidos (ou seja, parte do cilindro está em \rho_{2} e parte em \rho_{1}).
Pedido explícito: encontrar a fração do comprimento do cilindro imersa no líquido mais denso (isto é, calcular x/l, onde x é o comprimento do cilindro dentro do líquido de densidade \rho_{2}).

Passo 2

Escolher variáveis e desenhar mentalmente o caso (sem figura obrigatória):
  • Seja A a área da secção transversal do cilindro (constante ao longo do eixo).
  • Seja x o comprimento do cilindro imerso no líquido de densidade \rho_{2} (o que queremos).
  • Então o comprimento imerso no líquido de densidade \rho_{1} é l-x (assumimos que o cilindro está totalmente dentro dos dois líquidos, sem parte saindo para o ar).
  • Volume total do cilindro é V_{\text{cil}}=A\cdot l.

Passo 3

Revisão didática do princípio físico que usamos (Arquimedes):
  • Arquimedes diz: a força de empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado por esse corpo.
  • Peso do fluido deslocado = massa do fluido deslocado \times g.
  • Para dois líquidos, o empuxo total é soma dos empuxos de cada camada deslocada: empuxo do líquido denso para o trecho x mais empuxo do líquido leve para o trecho l-x.
  • Vamos representar g como a aceleração gravitacional; ela aparece em todos os termos e vai cancelar no final, mas é importante entender o papel físico.

Passo 4

Calcular pesos e empuxos em termos das variáveis:
  • Peso do cilindro (força para baixo):
P = \text{massa do cilindro}\cdot g = (\rho \cdot V_{\text{cil}})\,g = (\rho\cdot A\cdot l)\,g.
  • Empuxo fornecido pelo líquido mais denso (trecho de comprimento x):
E_{2} = (\text{massa do líquido denso deslocado})\cdot g = (\rho_{2}\cdot A\cdot x)\,g.í
  • Empuxo fornecido pelo líquido menos denso (trecho de comprimento l-x):
E_{1} = (\rho_{1}\cdot A\cdot (l-x))\,g.
  • Empuxo total:
E_{\text{total}} = E_{2}+E_{1} = \big(\rho_{2} A x + \rho_{1} A (l-x)\big)\,g.

Passo 5

Condição de equilíbrio (flutuação):
  • Para o cilindro flutuar em equilíbrio, o empuxo total deve igualar o peso:
E_{\text{total}} = P.
  • Substituindo as expressões dos passos anteriores:
\big(\rho_{2} A x + \rho_{1} A (l-x)\big)\,g = (\rho A l)\,g.

Passo 6

Simplificar a equação (cancelar termos comuns e isolar x):
  • Podemos cancelar A e g dos dois lados (ambos não nulos):
\rho_{2} x + \rho_{1}(l-x) = \rho l.
  • Desenvolvendo o termo:
\rho_{2} x + \rho_{1} l - \rho_{1} x = \rho l.
  • Agrupando os termos em x:
(\rho_{2}-\rho_{1})x = \rho l - \rho_{1} l.
  • Fatorando l no lado direito:
(\rho_{2}-\rho_{1})x = (\rho - \rho_{1})\,l.

Passo 7

Resolver para a fração pedida x/l:
  • Isolando x:
x = \frac{(\rho - \rho_{1})\,l}{\rho_{2}-\rho_{1}}.
  • Dividindo ambos os lados por l para obter a fração:
\frac{x}{l} = \frac{\rho - \rho_{1}}{\rho_{2}-\rho_{1}}.

Passo 8

Interpretação e checagem rápida (sanidade):
  • A expressão é adimensional (fração), como deve ser.
  • Se \rho=\rho_{1} então \dfrac{x}{l}=0: o cilindro tem mesma densidade do líquido superior, não precisa penetrar no líquido denso (faz sentido).
  • Se \rho=\rho_{2} então \dfrac{x}{l}=1: o cilindro tem mesma densidade do líquido inferior, precisa estar totalmente no líquido denso (faz sentido).
  • Como \rho_{1}<\rho<\rho_{2}, a fração fica entre 0 e 1, coerente com a situação física.

Passo 9

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, só para entender):
  • Se \rho_{1}=800\\ \text{kg/m}^3, \rho_{2}=1000\\ \text{kg/m}^3 e \rho=900\\ \text{kg/m}^3,
\frac{x}{l}=\frac{900-800}{1000-800}=\frac{100}{200}=\frac{1}{2}.
  • Ou seja, metade do comprimento estaria no líquido mais denso.

Resposta

\frac{x}{l}=\frac{\rho-\rho_{1}}{\rho_{2}-\rho_{1}}

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