Um líquido menos denso, com densidade
, flutua sobre um líquido mais denso, com densidade
. Um cilindro uniforme de comprimento
e densidade
, flutua na interface com seu eixo longo na vertical. Que fração de seu comprimento está imersa no líquido mais denso?
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar que fração do comprimento do cilindro está imersa no líquido mais denso.
Informações fornecidas:
- Densidade do líquido superior (menos denso):
. - Densidade do líquido inferior (mais denso):
. - Densidade do cilindro uniforme:
, com . - Comprimento do cilindro:
. - O cilindro flutua com o eixo longo na vertical e intersecta a interface entre os dois líquidos (ou seja, parte do cilindro está em
e parte em ).
Pedido explícito: encontrar a fração do comprimento do cilindro imersa no líquido mais denso (isto é, calcular
, onde
é o comprimento do cilindro dentro do líquido de densidade
).
Passo 2
Escolher variáveis e desenhar mentalmente o caso (sem figura obrigatória):
- Seja
a área da secção transversal do cilindro (constante ao longo do eixo). - Seja
o comprimento do cilindro imerso no líquido de densidade (o que queremos). - Então o comprimento imerso no líquido de densidade
é (assumimos que o cilindro está totalmente dentro dos dois líquidos, sem parte saindo para o ar). - Volume total do cilindro é
.
Passo 3
Revisão didática do princípio físico que usamos (Arquimedes):
- Arquimedes diz: a força de empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado por esse corpo.
- Peso do fluido deslocado = massa do fluido deslocado
. - Para dois líquidos, o empuxo total é soma dos empuxos de cada camada deslocada: empuxo do líquido denso para o trecho
mais empuxo do líquido leve para o trecho . - Vamos representar
como a aceleração gravitacional; ela aparece em todos os termos e vai cancelar no final, mas é importante entender o papel físico.
Passo 4
Calcular pesos e empuxos em termos das variáveis:
- Peso do cilindro (força para baixo):
- Empuxo fornecido pelo líquido mais denso (trecho de comprimento
):
- Empuxo fornecido pelo líquido menos denso (trecho de comprimento
):
- Empuxo total:
Passo 5
Condição de equilíbrio (flutuação):
- Para o cilindro flutuar em equilíbrio, o empuxo total deve igualar o peso:
- Substituindo as expressões dos passos anteriores:
Passo 6
Simplificar a equação (cancelar termos comuns e isolar
):
- Podemos cancelar
e dos dois lados (ambos não nulos):
- Desenvolvendo o termo:
- Agrupando os termos em
:
- Fatorando
no lado direito:
Passo 7
Resolver para a fração pedida
:
- Isolando
:
- Dividindo ambos os lados por
para obter a fração:
Passo 8
Interpretação e checagem rápida (sanidade):
- A expressão é adimensional (fração), como deve ser.
- Se
então : o cilindro tem mesma densidade do líquido superior, não precisa penetrar no líquido denso (faz sentido). - Se
então : o cilindro tem mesma densidade do líquido inferior, precisa estar totalmente no líquido denso (faz sentido). - Como
, a fração fica entre e , coerente com a situação física.
Passo 9
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, só para entender):
- Se
, e ,
- Ou seja, metade do comprimento estaria no líquido mais denso.