Você quer produzir três fios cilíndricos com diâmetro de 1,00 \mathrm{~mm}, cada um com uma resistência de 1,00 \Omega à temperatura ambiente. Um fio é de ouro, um é de cobre e um é de alumínio. Consulte a Tabela 25.1 para os valores de resistividade. (a) Qual deve ser o comprimento de cada fio? (b) O ouro tem uma densidade de 1,93 \times 10^{4} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Qual será a massa do fio de ouro? Considerando o preço atual do ouro ( \simeq \mathrm{R} \ 200,00$ a grama), esse fio será muito caro?
Substância \rho(\Omega \cdot \mathbf{m}) Substância \rho(\Omega \cdot \mathbf{m})
Condutores Semicondutores
Metais Prata 1,47 \times 10^{-8} Carbono puro (grafite) 3,5 \times 10^{-5}
Cobre 1,72 \times 10^{-8} Germânio puro 0,60
Ouro 2,44 \times 10^{-8} Silício puro 2.300
Alumínio 2,75 \times 10^{-8} Isolantes
Tungstênio 5,25 \times 10^{-8} Âmbar 5 \times 10^{14}
Aço 20 \times 10^{-8} Vidro 10^{10}-10^{14}
Chumbo 22 \times 10^{-8} Lucita >10^{13}
Mercúrio 95 \times 10^{-8} Mica 10^{11}-10^{15}
Ligas Manganina (Cu 84%, Mn 12%, Ni 4%) 44 \times 10^{-8} Quartzo (fundido) 75 \times 10^{16}
Constantan (Cu 60%, Ni 40%) 49 \times 10^{-8} Enxofre 10^{15}
Nicromo 100 \times 10^{-8} Teflon { }^{(8)} >10^{13}
Madeira 10^{8}-10^{11}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores de resistividade da Tabela fornecida).
Dados e informações extraídas do enunciado e da tabela:
  • Diâmetro do fio: 1{,}00\\ \mathrm{mm}. Logo o raio é r=\dfrac{1{,}00\\ \mathrm{mm}}{2}=0{,}50\\ \mathrm{mm}.
  • Converter para metros: r=0{,}50\\ \mathrm{mm}=0{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=5{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Resistência desejada para cada fio: R=1{,}00\\ \Omega.
  • Resistividades (peguei estes números da tabela):
    • Ouro: \rho_{\text{Au}}=2{,}44\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
    • Cobre: \rho_{\text{Cu}}=1{,}72\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
    • Alumínio: \rho_{\text{Al}}=2{,}75\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Densidade do ouro (dada): \sigma_{\text{Au}}=1{,}93\times10^{4}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Preço aproximado do ouro: 200{,}00\\ \mathrm{R}\$ por grama.
O enunciado pede:
(a) Qual deve ser o comprimento de cada fio (ouro, cobre, alumínio) com diâmetro 1{,}00\\ \mathrm{mm} para que cada um tenha 1{,}00\\ \Omega?
(b) Qual será a massa do fio de ouro? Considerando o preço dado, esse fio será muito caro?

Passo 2

Fórmula básica que relaciona resistência, resistividade, comprimento e área da seção transversal:
R=\rho\,\frac{L}{A},
onde:
  • R é a resistência elétrica (em \Omega),
  • \rho é a resistividade do material (em \Omega\cdot\mathrm{m}),
  • L é o comprimento do fio (em \mathrm{m}),
  • A é a área da seção transversal do fio (em \mathrm{m}^2).
Como queremos L, isolamos L:
L = \frac{R\,A}{\rho}.
Vou explicar rapidamente: a resistividade \rho mede o quanto o material dificulta a passagem de corrente; para um dado material e seção A, quanto maior o comprimento L maior a resistência, proporcionalmente. Essa fórmula é padrão para fios cilíndricos uniformes.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal A do fio (é um círculo):
A=\pi r^{2}.
Substituindo r=5{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}:
A=\pi\left(5{,}00\times10^{-4}\right)^{2} =\pi\left(25{,}00\times10^{-8}\right) =\pi\left(2{,}50\times10^{-7}\right).
Agora o valor numérico:
A=\pi\times2{,}50\times10^{-7}=7{,}8539816\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{2}.
Para facilitar os cálculos vou usar A\approx7{,}85398\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Calcular o comprimento para cada material usando L=\dfrac{R\,A}{\rho} com R=1{,}00\\ \Omega.
(a) Ouro:
L_{\text{Au}}=\frac{1{,}00\times A}{\rho_{\text{Au}}} =\frac{7{,}85398\times10^{-7}}{2{,}44\times10^{-8}}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão:
L_{\text{Au}}\approx 32{,}2\\ \mathrm{m}.
(b) Cobre:
L_{\text{Cu}}=\frac{7{,}85398\times10^{-7}}{1{,}72\times10^{-8}}\\ \mathrm{m} \approx 45{,}7\\ \mathrm{m}.
(c) Alumínio:
L_{\text{Al}}=\frac{7{,}85398\times10^{-7}}{2{,}75\times10^{-8}}\\ \mathrm{m} \approx 28{,}6\\ \mathrm{m}.
Observação didática: os comprimentos diferem porque a resistividade \rho muda. Menor \rho (cobre) exige comprimento maior para atingir 1{,}00\\ \Omega com a mesma seção; no caso, cobre tem a menor resistividade da lista, por isso seu comprimento para 1 Ω é o maior.

Passo 5

Agora calculamos a massa do fio de ouro. Primeiro volume do fio:
V_{\text{Au}}=A\,L_{\text{Au}}.
Substituindo A e L_{\text{Au}}:
V_{\text{Au}}=7{,}85398\times10^{-7}\times 32{,}2\\ \mathrm{m}^{3} \approx 2{,}528\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}.
Explicando: multiplica-se a área da seção pelo comprimento para obter o volume de um cilindro.
Agora a massa usando densidade \sigma_{\text{Au}}:
m_{\text{Au}}=\sigma_{\text{Au}}\,V_{\text{Au}}.
Substituindo \sigma_{\text{Au}}=1{,}93\times10^{4}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}:
m_{\text{Au}}=1{,}93\times10^{4}\times 2{,}528\times10^{-5}\\ \mathrm{kg} \approx 0{,}488\\ \mathrm{kg}.
Convertendo para gramas:
m_{\text{Au}}\approx 488\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Calcular o custo aproximado do fio de ouro com preço 200{,}00\\ \mathrm{R}\$ por grama:
\text{Custo}\approx 488\\ \mathrm{g}\times 200{,}00\\ \mathrm{R}\$/\mathrm{g} =97\,600\\ \mathrm{R}\$.
Interpretando: aproximadamente 9,76\times10^{4}\\ \mathrm{R}\$. Isso é um valor muito alto para um único fio de 1 Ω: portanto, sim, o fio de ouro seria muito caro.

Resposta

(a) L_{\text{Au}}\approx 32{,}2\\ \mathrm{m}, \;L_{\text{Cu}}\approx 45{,}7\\ \mathrm{m}, \;L_{\text{Al}}\approx 28{,}6\\ \mathrm{m}.
(b) m_{\text{Au}}\approx 0{,}488\\ \mathrm{kg}=488\\ \mathrm{g}. Custo \approx 97\,600\\ \mathrm{R}\$ (logo, sim: seria muito caro).

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