Você quer produzir três fios cilíndricos com diâmetro de
, cada um com uma resistência de
à temperatura ambiente. Um fio é de ouro, um é de cobre e um é de alumínio. Consulte a Tabela 25.1 para os valores de resistividade. (a) Qual deve ser o comprimento de cada fio? (b) O ouro tem uma densidade de
. Qual será a massa do fio de ouro? Considerando o preço atual do ouro (
200,00$ a grama), esse fio será muito caro?
| Substância |
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Substância |
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|---|---|---|---|---|
| Condutores | Semicondutores | |||
| Metais | Prata |
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Carbono puro (grafite) |
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| Cobre |
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Germânio puro | 0,60 | |
| Ouro |
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Silício puro | 2.300 | |
| Alumínio |
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Isolantes | ||
| Tungstênio |
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Âmbar |
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| Aço |
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Vidro |
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| Chumbo |
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Lucita |
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| Mercúrio |
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Mica |
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| Ligas | Manganina (Cu 84%, Mn 12%, Ni 4%) |
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Quartzo (fundido) |
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| Constantan (Cu 60%, Ni 40%) |
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Enxofre |
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| Nicromo |
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Teflon
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| Madeira |
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Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores de resistividade da Tabela fornecida).
Dados e informações extraídas do enunciado e da tabela:
- Diâmetro do fio:
. Logo o raio é . - Converter para metros:
. - Resistência desejada para cada fio:
. - Resistividades (peguei estes números da tabela):
- Ouro:
. - Cobre:
. - Alumínio:
.
- Ouro:
- Densidade do ouro (dada):
. - Preço aproximado do ouro:
por grama.
O enunciado pede:
(a) Qual deve ser o comprimento de cada fio (ouro, cobre, alumínio) com diâmetro para que cada um tenha
?
(b) Qual será a massa do fio de ouro? Considerando o preço dado, esse fio será muito caro?
(a) Qual deve ser o comprimento de cada fio (ouro, cobre, alumínio) com diâmetro
(b) Qual será a massa do fio de ouro? Considerando o preço dado, esse fio será muito caro?
Passo 2
Fórmula básica que relaciona resistência, resistividade, comprimento e área da seção transversal:
onde:
-
é a resistência elétrica (em ), -
é a resistividade do material (em ), -
é o comprimento do fio (em ), -
é a área da seção transversal do fio (em ).
Como queremos
, isolamos
:
Vou explicar rapidamente: a resistividade
mede o quanto o material dificulta a passagem de corrente; para um dado material e seção
, quanto maior o comprimento
maior a resistência, proporcionalmente. Essa fórmula é padrão para fios cilíndricos uniformes.
Passo 3
Calcular a área da seção transversal
do fio (é um círculo):
Substituindo
:
Agora o valor numérico:
Para facilitar os cálculos vou usar
.
Passo 4
Calcular o comprimento para cada material usando
com
.
(a) Ouro:
Fazendo a divisão:
(b) Cobre:
(c) Alumínio:
Observação didática: os comprimentos diferem porque a resistividade
muda. Menor
(cobre) exige comprimento maior para atingir
com a mesma seção; no caso, cobre tem a menor resistividade da lista, por isso seu comprimento para 1 Ω é o maior.
Passo 5
Agora calculamos a massa do fio de ouro. Primeiro volume do fio:
Substituindo
e
:
Explicando: multiplica-se a área da seção pelo comprimento para obter o volume de um cilindro.
Agora a massa usando densidade
:
Substituindo
:
Convertendo para gramas:
Passo 6
Calcular o custo aproximado do fio de ouro com preço
por grama:
Interpretando: aproximadamente
. Isso é um valor muito alto para um único fio de 1 Ω: portanto, sim, o fio de ouro seria muito caro.
Resposta
(a)
,
,
.
(b)
. Custo
(logo, sim: seria muito caro).