12.54 Testes feitos com os trens pendulares descritos no Problema anterior revelam que os passageiros se sentem desconfortáveis quando veem, pela janela do vagão que o trem está fazendo uma curva em alta velocidade, ainda que eles não sintam nenhuma força lateral. Os projetistas, portanto, preferem reduzir, mas não eliminar, essa força. Para o trem do Problema 12.53, determine o ângulo de inclinação necessário para os passageiros sentirem forças laterais iguais a 10% de seu peso.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o ângulo de inclinação necessário para que os passageiros sintam forças laterais iguais a 10\% do seu peso.
Informações dadas no enunciado:
  • Queremos que a força lateral percebida por um passageiro valha 0{,}10 vezes o peso mg.
Informações que faltam (necessárias para um valor numérico):
  • O enunciado remete ao “trem do Problema 12.53”. Esse problema anterior provavelmente dá a velocidade v do trem e o raio R da curva (ou já dá a aceleração centrípeta a=v^2/R). Esses dados são necessários para calcular numericamente o ângulo.
  • Como esses valores não foram fornecidos aqui, não é possível dar um valor numérico final. Vou, portanto, desenvolver passo a passo a fórmula geral — com explicação didática — e mostrar exatamente como obter o ângulo numérico assim que você me fornecer v e R (ou a).

Passo 2

Ideia física básica (intuitiva e sem pular etapas):
  • Em referência ao passageiro (referencial não-inercial que acompanha o trem), além da gravidade existe uma aceleração aparente “centrífuga” de intensidade a apontando para fora da curva; aqui a é a aceleração centrípeta em módulo, normalmente a=\dfrac{v^2}{R}.
  • A soma vetorial dessas duas acelerações (gravidade para baixo e aceleração centrífuga para o lado) forma um vetor resultante denominado aqui \vec{g}_{\text{ef}} (gravidade efetiva). O passageiro “sente” uma força m\vec{g}_{\text{ef}}.
  • Se o vagão for inclinado por um ângulo \theta (rodando em torno do eixo longitudinal do trem), a orientação do “vertical” do passageiro (a normal ao piso / assento) muda. Quando a direção de \vec{g}_{\text{ef}} coincide com essa nova vertical o passageiro não sente força lateral. Em geral, se houver diferença angular entre \vec{g}_{\text{ef}} e a vertical do vagão, o passageiro sente uma componente lateral.

Passo 3

Representação vetorial e relação trigonométrica útil:
  • Adote um plano coordenado lateral-vertical: eixo x apontando para fora da curva (horizontal) e eixo z apontando para cima (vertical).
  • A aceleração centrífuga é \vec{a}=a\,\hat{\imath}. A gravidade é \vec{g}=-g\,\hat{k}. Logo a gravidade efetiva (vetor resultado que o passageiro percebe) é
\vec{g}_{\text{ef}} = a\,\hat{\imath} - g\,\hat{k}.
  • O módulo desse vetor é
G \equiv \lVert \vec{g}_{\text{ef}}\rVert = \sqrt{a^2 + g^2}.
  • A direção desse vetor forma com a vertical verdadeira um ângulo \varphi tal que
\tan\varphi = \frac{a}{g} \qquad\Rightarrow\qquad \varphi = \arctan\!\left(\frac{a}{g}\right).
Observação prática: se o trem inclinasse exatamente \theta=\varphi, o vetor \vec{g}_{\text{ef}} ficaria alinhado com a “vertical do vagão” e não haveria sensação lateral.

Passo 4

Como quantificamos a força lateral sentida quando a inclinação é \theta?
  • A diferença angular entre a direção de \vec{g}_{\text{ef}} (ângulo \varphi relativo à vertical verdadeira) e a vertical do vagão (ângulo \theta relativa à vertical verdadeira) é \varphi-\theta.
  • O componente de \vec{g}_{\text{ef}} perpendicular à vertical do vagão (isto é, o componente que produz a sensação lateral) tem magnitude
g_{\text{lat}} \;=\; G\,\sin(\varphi-\theta).
  • A força lateral percebida por um passageiro de massa m é F_{\text{lat}} = m\,g_{\text{lat}} = m\,G\sin(\varphi-\theta).

Passo 5

Impondo a condição do enunciado (força lateral igual a 10\% do peso) e resolvendo para \theta:
  • A condição é
F_{\text{lat}} = 0{,}10\, m g.
Substituindo F_{\text{lat}} = m G \sin(\varphi-\theta) e cancelando m:
G \sin(\varphi-\theta) = 0{,}10\, g.
  • Isolando \theta:
\sin(\varphi-\theta) = \dfrac{0{,}10\, g}{G} \quad\Rightarrow\quad \varphi-\theta = \arcsin\!\left(\dfrac{0{,}10\, g}{G}\right).
Portanto
\theta = \varphi - \arcsin\!\left(\dfrac{0{,}10\, g}{G}\right).

Passo 6

Expressão final em termos de a e g (forma prática e compacta):
  • Lembrando \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{a}{g}\right) e G=\sqrt{a^2+g^2}, uma forma conveniente é
\boxed{\;\theta \;=\; \arctan\!\left(\dfrac{a}{g}\right)\;-\;\arcsin\!\left(\dfrac{0{,}10\,g}{\sqrt{a^2+g^2}}\right)\; }.
  • Outra forma usando a razão adimensional u=\dfrac{a}{g} fica ainda mais compacta:
\boxed{\;\theta \;=\; \arctan(u)\;-\;\arcsin\!\left(\dfrac{0{,}10}{\sqrt{1+u^2}}\right),\quad\text{onde }u=\dfrac{a}{g}=\dfrac{v^2}{R g}\; }.

Passo 7

Como usar essa fórmula na prática (passo a passo numérico quando se tem v e R):
  1. Calcule a=\dfrac{v^2}{R}. (Use unidades SI: v em m/s, R em m → a em m/s ^2.)
  2. Tome g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 (ou 9{,}81 se preferir maior precisão).
  3. Calcule u=\dfrac{a}{g}.
  4. Calcule \theta pela fórmula
\theta = \arctan(u) - \arcsin\!\left(\dfrac{0{,}10}{\sqrt{1+u^2}}\right).
  1. Converter \theta para graus se desejar: \theta_{\text{(deg)}} = \theta\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi}.
Dica de interpretação: se a for pequeno ( u\ll1), a primeira parcela \arctan(u)\approx u é pequena; se a aumenta muito, a inclinação necessária também aumenta, mas a subtração pelo arco seno incorpora a exigência de deixar um pequeno resíduo lateral de 10\% do peso.

Resposta

\displaystyle \theta = \arctan\!\left(\dfrac{a}{g}\right)\;-\;\arcsin\!\left(\dfrac{0{,}10\,g}{\sqrt{a^2+g^2}}\right), onde a=\dfrac{v^2}{R} e g é a aceleração da gravidade.

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