12.54 Testes feitos com os trens pendulares descritos no Problema anterior revelam que os passageiros se sentem desconfortáveis quando veem, pela janela do vagão que o trem está fazendo uma curva em alta velocidade, ainda que eles não sintam nenhuma força lateral. Os projetistas, portanto, preferem reduzir, mas não eliminar, essa força. Para o trem do Problema 12.53, determine o ângulo de inclinação necessário para os passageiros sentirem forças laterais iguais a 10% de seu peso.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o ângulo de inclinação necessário para que os passageiros sintam forças laterais iguais a
do seu peso.
Informações dadas no enunciado:
- Queremos que a força lateral percebida por um passageiro valha
vezes o peso .
Informações que faltam (necessárias para um valor numérico):
- O enunciado remete ao “trem do Problema 12.53”. Esse problema anterior provavelmente dá a velocidade
do trem e o raio da curva (ou já dá a aceleração centrípeta ). Esses dados são necessários para calcular numericamente o ângulo. - Como esses valores não foram fornecidos aqui, não é possível dar um valor numérico final. Vou, portanto, desenvolver passo a passo a fórmula geral — com explicação didática — e mostrar exatamente como obter o ângulo numérico assim que você me fornecer
e (ou ).
Passo 2
Ideia física básica (intuitiva e sem pular etapas):
- Em referência ao passageiro (referencial não-inercial que acompanha o trem), além da gravidade existe uma aceleração aparente “centrífuga” de intensidade
apontando para fora da curva; aqui é a aceleração centrípeta em módulo, normalmente . - A soma vetorial dessas duas acelerações (gravidade para baixo e aceleração centrífuga para o lado) forma um vetor resultante denominado aqui
(gravidade efetiva). O passageiro “sente” uma força . - Se o vagão for inclinado por um ângulo
(rodando em torno do eixo longitudinal do trem), a orientação do “vertical” do passageiro (a normal ao piso / assento) muda. Quando a direção de coincide com essa nova vertical o passageiro não sente força lateral. Em geral, se houver diferença angular entre e a vertical do vagão, o passageiro sente uma componente lateral.
Passo 3
Representação vetorial e relação trigonométrica útil:
- Adote um plano coordenado lateral-vertical: eixo
apontando para fora da curva (horizontal) e eixo apontando para cima (vertical). - A aceleração centrífuga é
. A gravidade é . Logo a gravidade efetiva (vetor resultado que o passageiro percebe) é
- O módulo desse vetor é
- A direção desse vetor forma com a vertical verdadeira um ângulo
tal que
Observação prática: se o trem inclinasse exatamente
, o vetor
ficaria alinhado com a “vertical do vagão” e não haveria sensação lateral.
Passo 4
Como quantificamos a força lateral sentida quando a inclinação é
?
- A diferença angular entre a direção de
(ângulo relativo à vertical verdadeira) e a vertical do vagão (ângulo relativa à vertical verdadeira) é . - O componente de
perpendicular à vertical do vagão (isto é, o componente que produz a sensação lateral) tem magnitude
- A força lateral percebida por um passageiro de massa
é .
Passo 5
Impondo a condição do enunciado (força lateral igual a
do peso) e resolvendo para
:
- A condição é
Substituindo
e cancelando
:
- Isolando
:
Portanto
Passo 6
Expressão final em termos de
e
(forma prática e compacta):
- Lembrando
e , uma forma conveniente é
- Outra forma usando a razão adimensional
fica ainda mais compacta:
Passo 7
Como usar essa fórmula na prática (passo a passo numérico quando se tem
e
):
- Calcule
. (Use unidades SI: em m/s, em m → em m/s .) - Tome
(ou se preferir maior precisão). - Calcule
. - Calcule
pela fórmula
- Converter
para graus se desejar: .
Dica de interpretação: se
for pequeno (
), a primeira parcela
é pequena; se
aumenta muito, a inclinação necessária também aumenta, mas a subtração pelo arco seno incorpora a exigência de deixar um pequeno resíduo lateral de
do peso.