1. Você realiza um experimento em que 20 g de gelo a -20^{\circ} \mathrm{C} são transformados em líquido a 100^{\circ} \mathrm{C}.
    (i) Determine a quantidade de calor necessária para a transformação.
    (ii) Determine a variação que experimenta a entropia na transformação.

Passo 1

O enunciado diz que uma amostra de gelo com massa m=20\\ \mathrm{g} parte de -20^{\circ}\mathrm{C} e é levada até água líquida a 100^{\circ}\mathrm{C}. Precisamos responder duas coisas:
(i) a quantidade de calor necessária para essa transformação (energia fornecida total), e
(ii) a variação de entropia \Delta S associada à transformação.
Informações fornecidas diretamente pelo enunciado:
  • m=20\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial: T_i=-20^{\circ}\mathrm{C}.
  • Estado final: água líquida a T_f=100^{\circ}\mathrm{C}.
O processo envolve três etapas físicas distintas:
  1. Aquecer o gelo de -20^{\circ}\mathrm{C} até 0^{\circ}\mathrm{C}.
  2. Fundir o gelo a 0^{\circ}\mathrm{C} (mudança de fase sólido→líquido).
  3. Aquecer a água líquida de 0^{\circ}\mathrm{C} até 100^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Vou declarar os dados termofísicos que normalmente se usam e que vou aplicar (valores típicos, com unidades; são necessários para os cálculos):
  • Calor específico do gelo: c_{\text{gelo}}=2,09\\ \mathrm{J\,g^{-1}K^{-1}}.
  • Calor específico da água líquida: c_{\text{água}}=4,18\\ \mathrm{J\,g^{-1}K^{-1}}á.
  • Calor latente de fusão do gelo (sólido → líquido a 0^{\circ}\mathrm{C}): L_f=334\\ \mathrm{J\,g^{-1}}.
Explicação rápida das fórmulas que vou usar (aula curta):
  • Para aquecimento sem mudança de fase, a quantidade de calor necessária é dada por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde m é a massa, c é o calor específico do material e \Delta T=T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}. Aqui T pode ser em ^{\circ}\mathrm{C} porque somente diferenças de temperatura aparecem.
  • Para mudança de fase (fusão) à temperatura constante, a quantidade de calor é
Q_{\text{fusão}} = m\,L_f,ã
onde L_f é o calor latente de fusão (energia por unidade de massa).
  • A variação de entropia \Delta S entre dois estados de equilíbrio pode ser calculada por um caminho reversível. Para aquecimento com c constante:
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{dQ_{\text{rev}}}{T} = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m c\,dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right),
onde as temperaturas devem estar em kelvin (K). Para uma mudança de fase ocorrendo a temperatura constante T_{fase},
\Delta S_{\text{fusão}}=\frac{Q_{\text{fusão}}}{T_{fase}}=\frac{m L_f}{T_{fase}}.ãã

Passo 3

Primeira etapa: aquecer o gelo de -20^{\circ}\mathrm{C} até 0^{\circ}\mathrm{C}.
  • Massa: m=20\\ \mathrm{g}.
  • c_{\text{gelo}}=2,09\\ \mathrm{J\,g^{-1}K^{-1}}.
  • \Delta T = 0-(-20)=20\\ \mathrm{K}.
Calor necessário:
Q_1 = m\,c_{\text{gelo}}\,\Delta T = 20\cdot 2,09\cdot 20 = 836\\ \mathrm{J}.
Explicação: multiplica-se a massa pelo calor específico e pela variação de temperatura; unidades: \mathrm{g}\cdot (\mathrm{J\,g^{-1}K^{-1}})\cdot \mathrm{K} = \mathrm{J}.

Passo 4

Segunda etapa: fusão do gelo a 0^{\circ}\mathrm{C}.
Calor necessário:
Q_2 = m\,L_f = 20\cdot 334 = 6680\\ \mathrm{J}.
Explicação: durante a fusão a temperatura constante, toda a energia vai para vencer ligações e mudar de fase, não para aumentar a temperatura.

Passo 5

Terceira etapa: aquecer a água líquida de 0^{\circ}\mathrm{C} até 100^{\circ}\mathrm{C}.
  • c_{\text{água}}=4,18\\ \mathrm{J\,g^{-1}K^{-1}}á.
  • \Delta T = 100-0=100\\ \mathrm{K}.
Calor necessário:
Q_3 = m\,c_{\text{água}}\,\Delta T = 20\cdot 4,18\cdot 100 = 8360\\ \mathrm{J}.á

Passo 6

Somando as três parcelas para obter o calor total fornecido:
Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 836 + 6680 + 8360 = 15876\\ \mathrm{J}.
Arredondamento conveniente:
Q_{\text{total}} \approx 1,59\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Agora calculamos a variação de entropia total \Delta S como soma das variações de cada etapa (entropia é função de estado, então somamos as contribuições de um caminho reversível que liga os estados).
Passo 7.1: \Delta S_1 — aquecimento do gelo de -20^{\circ}\mathrm{C} a 0^{\circ}\mathrm{C}.
Converter temperaturas para kelvin:
T_{i1} = -20^{\circ}\mathrm{C} = 253,15\\ \mathrm{K},\qquad T_{f1}=0^{\circ}\mathrm{C}=273,15\\ \mathrm{K}.
Aplicando a fórmula \Delta S = m c \ln(T_f/T_i):
\Delta S_1 = 20\cdot 2,09 \ln\!\left(\frac{273,15}{253,15}\right).
Cálculo numérico:
\ln\!\left(\frac{273,15}{253,15}\right)=\ln(1,0791)\approx 0,0760,
\Delta S_1 \approx 41,8\cdot 0,0760 \approx 3,18\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 8

Passo 7.2: \Delta S_2 — fusão do gelo a 0^{\circ}\mathrm{C}.
Temperatura de fusão T_{\text{fus}}=273,15\\ \mathrm{K}. Assim
\Delta S_2 = \frac{Q_2}{T_{\text{fus}}} = \frac{6680}{273,15} \approx 24,46\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Explicação: para uma mudança de fase reversível a temperatura constante, \Delta S = Q_{\text{rev}}/T.

Passo 9

Passo 7.3: \Delta S_3 — aquecimento da água líquida de 0^{\circ}\mathrm{C} a 100^{\circ}\mathrm{C}.
Temperaturas em kelvin:
T_{i3}=273,15\\ \mathrm{K},\qquad T_{f3}=373,15\\ \mathrm{K}.
Aplicando a fórmula:
\Delta S_3 = m\,c_{\text{água}} \ln\!\left(\frac{373,15}{273,15}\right) = 20\cdot 4,18 \ln\!\left(\frac{373,15}{273,15}\right).á
Cálculo numérico:
\frac{373,15}{273,15}=1,3663,\qquad \ln(1,3663)\approx 0,3126,
\Delta S_3 \approx 83,6\cdot 0,3126 \approx 26,14\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 10

Somando as três contribuições de entropia:
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_3 \approx 3,18 + 24,46 + 26,14 = 53,78\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Arredondando razoavelmente:
\Delta S_{\text{total}} \approx 53,8\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Interpretação curta: a entropia aumentou (positivo), porque forneceu-se calor e houve uma mudança de fase que aumenta a desordem (sólido → líquido) além do aquecimento.

Resposta

(i) 1,59\times 10^{4}\\ \mathrm{J}
(ii) 53,8\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

Exercícios relacionados