1. Um cilindro com pistão contem 4,20 \mathrm{~g} de \mathrm{N}_{2} a 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} e 27^{\circ} \mathrm{C}. Considere que o gás é ideal. Ao aquecer isobaricamente até 327^{\circ} \mathrm{C}, em quanto varia a energia interna do gás?
    A) 144 J
    A) 544 J
    A) 944 J
    B) 344
    B) 744

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa de \mathrm{N}_2: m=4,20\\ \mathrm{g}.
    • Pressão inicial (e final, porque o aquecimento é isobárico): P=10^{5}\\ \mathrm{N/m^{2}}. (Este dado não será necessário para \Delta U, mas está no enunciado.)
    • Temperatura inicial: 27^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura final: 327^\circ\mathrm{C}.
    • Considerar o gás como ideal.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a variação da energia interna do gás durante o aquecimento isobárico, isto é, calcular \Delta U.

Passo 2

Converter temperaturas de graus Celsius para kelvin (sempre somar 273).
  • Temperatura inicial: T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final: T_2 = 327^\circ\mathrm{C} = 327 + 273 = 600\\ \mathrm{K}.
  • Variação de temperatura: \Delta T = T_2 - T_1 = 600 - 300 = 300\\ \mathrm{K}.
Explicação rápida: em termodinâmica de gases, as temperaturas devem estar em kelvin para uso em fórmulas que envolvem energia e constantes molares.

Passo 3

Calcular o número de mols n do gás usando a massa e a massa molar do \mathrm{N}_2.
  • Massa molar do \mathrm{N}_2: M(\mathrm{N}_2)\approx 28{,}02\\ \mathrm{g/mol}.
  • Número de mols: n=\frac{m}{M}=\frac{4{,}20\\ \mathrm{g}}{28{,}02\\ \mathrm{g/mol}}\approx 0{,}14993\\ \mathrm{mol}\approx 0{,}150\\ \mathrm{mol}.
Dica prática: em prova, pode arredondar n para 0{,}150 mol se precisar fazer contas à mão; guardando uma ou duas casas extras evita erros grandes.

Passo 4

Escolher a capacidade calorífica molar a volume constante C_V adequada para \mathrm{N}_2 (gás diatômico) e explicar por quê.
  • Para um gás ideal, a variação de energia interna depende só da temperatura e vale
    \Delta U = n C_V \Delta T,
    onde:
    • n é o número de mols,
    • C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (em \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
    • \Delta T é a variação de temperatura em kelvin.
  • Valor de C_V para um gás diatômico (em temperaturas em que rotações estão ativas e vibrações desprezíveis): C_V=\dfrac{5}{2}R.
    • Aqui R é a constante universal dos gases, R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
    • Então C_V=\frac{5}{2}R=\frac{5}{2}\cdot 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\approx 20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Explicação didática: diatômicos têm, além das 3 do translacional, 2 graus de liberdade de rotação (total efetivo f=5), levando a C_V=\tfrac{f}{2}R=\tfrac{5}{2}R. Não se usa C_V de monoatômico ( \tfrac{3}{2}R) pois \mathrm{N}_2 é diatômico.

Passo 5

Aplicar a fórmula \Delta U = n C_V \Delta T e montar a conta com os números obtidos.
Substituindo:
\Delta U = n C_V \Delta T
\Delta U \approx 0{,}14993\\ \mathrm{mol}\times 20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\times 300\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Fazer a multiplicação passo a passo (mostrando as contas intermediárias):
  • Primeiro calcular n C_V: n C_V \approx 0{,}14993\times 20{,}785 \approx 3{,}1179\\ \mathrm{J/K}.
  • Agora multiplicar por \Delta T: \Delta U \approx 3{,}1179\\ \mathrm{J/K}\times 300\\ \mathrm{K} \approx 935{,}4\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três algarismos significativos) obtemos \Delta U\approx 935\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Interpretação final e comparação com as alternativas:
  • O resultado calculado com os valores padrão é \Delta U\approx 935\\ \mathrm{J}.
  • Se for preciso escolher a alternativa mais próxima entre as opções fornecidas, a opção mais próxima é 944\\ \mathrm{J} (provavelmente diferença por arredondamentos na constante ou massa molar usada pela banca).
Força aí — esse problema é clássico: reconhecer que \Delta U depende só de \Delta T e usar C_V certo para diatômicos é o truque. Você já fez o mais difícil: identificar a fórmula certa e controlar unidades.

Resposta

935\\ \mathrm{J}

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