1. Usando conceitos da física estatística pode ser mostrado que a entropia de um gás ideal monoatômico é dado por (Sackur-Tetrode):
    S=S_{0}+n R \ln \left(V T^{3 / 2}\right) \operatorname{com} S_{0}=n R\left(\frac{5}{2}+\ln \frac{\left(2 \pi k_{B} m\right)^{3 / 2}}{n N_{A} h^{3}}\right).
    Determine S para um mol de gás ideal de monóxido de argônio a temperatura e pressão atmosférica (300 \mathrm{~K} e 1 atm ) . k_{B} é a constante de Boltzmann, N_{A} é o número de Avogadro, h é a constante de Planck e m é a massa de cada átomo de argônio. Com V=\frac{n R T}{p}, S pode ser expresso em termos de p e T. (Não esqueça das unidades no sistema internacional)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a entropia S de um mol ( n=1) de gás ideal monoatômico (argônio) nas condições de temperatura e pressão atmosférica: T=300\\ \mathrm{K} e p=1\\ \text{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}. Foi dada a fórmula de Sackur–Tetrode:
S=S_{0}+n R \ln\!\left(V T^{3/2}\right)
com
S_{0}=n R\left(\tfrac{5}{2}+\ln\!\frac{\left(2\pi k_{B} m\right)^{3/2}}{n N_{A} h^{3}}\right).
Também foi dada a relação V=\dfrac{n R T}{p} para um gás ideal. Dados físicos que vamos usar (SI):
  • k_{B}=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
  • N_{A}=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},
  • h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s},
  • R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},
  • massa do átomo de argônio: massa atômica A\approx39{,}948\\ \mathrm{u} e 1\\ \mathrm{u}=1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
    O objetivo deste passo foi listar o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Vamos reescrever S em termos de p e T usando V=\dfrac{n R T}{p}. Substituindo em S:
S=S_{0}+n R \ln\!\left(\frac{n R T}{p}\,T^{3/2}\right) = S_{0}+n R \ln\!\left(\frac{n R T^{5/2}}{p}\right).
Agora substituímos S_{0} e somamos os logaritmos para simplificar (lembrando que \ln a+\ln b=\ln(ab)):
S=n R\left(\tfrac{5}{2}+\ln\!\frac{\left(2\pi k_{B} m\right)^{3/2}}{n N_{A} h^{3}}\right) + n R \ln\!\left(\frac{n R T^{5/2}}{p}\right).
Somando os termos em \ln:
S=n R\left(\tfrac{5}{2}+\ln\!\frac{\left(2\pi k_{B} m\right)^{3/2}\,n R T^{5/2}}{n N_{A} h^{3} p}\right).
Como n=1 neste problema, a expressão para um mol fica:
S=R\left(\tfrac{5}{2}+\ln\!\frac{\left(2\pi k_{B} m\right)^{3/2} R T^{5/2}}{N_{A} h^{3} p}\right).
Aqui expliquei como combinar termos e usei a lei dos gases ideais para eliminar V.

Passo 3

Agora calculamos a massa de um átomo de argônio em quilogramas. Peguei a massa atômica A=39{,}948 (unidades atômicas) e a constante de massa atômica:
m = A\cdot 1\\ \mathrm{u} = 39{,}948\times 1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Realizando a multiplicação:
m \approx 6{,}6335209\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Expliquei o procedimento: converter unidades atômicas para kg usando o fator 1\\ \mathrm{u}.

Passo 4

Vamos calcular os fatores numéricos separados para manter a conta clara. Definimos
A_1 \equiv \left(2\pi k_{B} m\right)^{3/2},\qquad B_1 \equiv N_{A} h^{3},\qquad C_1 \equiv \frac{R T^{5/2}}{p}.
Em seguida S=R\!\left(\tfrac{5}{2}+\ln\!\dfrac{A_1 C_1}{B_1}\right). Agora calculamos cada um (todas as quantidades em SI).

Passo 5

Cálculo de A_1:
2\pi k_{B} m \approx 2\pi\times(1{,}380649\times10^{-23})\times(6{,}6335209\times10^{-26}) \approx 5{,}7558\times10^{-48}.
Elevando à potência 3/2:
A_1=(2\pi k_{B} m)^{3/2}\approx 1{,}3815\times10^{-71}.
Expliquei: primeiro multiplicação direta, depois aplicar ^{3/2} (ou seja, elevar ao quadrado e extrair raiz cúbica/raiz quadrada combinada).

Passo 6

Cálculo de B_1:
h^{3}=(6{,}62607015\times10^{-34})^{3}\approx 2{,}900\times10^{-100},
B_1=N_{A} h^{3}\approx (6{,}02214076\times10^{23})\times(2{,}900\times10^{-100}) \approx 1{,}7464\times10^{-76}.

Passo 7

Cálculo de C_1:
T^{5/2}=300^{5/2}=300^{2}\sqrt{300}=90\,000\times\sqrt{300}\approx 1{,}55885\times10^{6},
R T^{5/2}\approx 8{,}314462618\times 1{,}55885\times10^{6}\approx 1{,}29608\times10^{7},
p=1\\ \text{atm}=101325\\ \mathrm{Pa},
C_1=\frac{R T^{5/2}}{p}\approx\frac{1{,}29608\times10^{7}}{1{,}01325\times10^{5}}\approx 127{,}9.

Passo 8

Agora calculamos o argumento do logaritmo:
\frac{A_1 C_1}{B_1}\approx\frac{1{,}3815\times10^{-71}\times127{,}9}{1{,}7464\times10^{-76}} \approx 1{,}0126\times10^{7}.
Tomando o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{A_1 C_1}{B_1}\right)\approx \ln(1{,}0126\times10^{7}) \approx 16{,}1306.
Aqui usei a propriedade \ln( a\times10^{b})=\ln a + b\ln 10.

Passo 9

Finalmente calculamos S usando
S=R\left(\tfrac{5}{2}+\ln\!\frac{A_1 C_1}{B_1}\right).
Substituindo os números:
S\approx 8{,}314462618\left(2{,}5 + 16{,}1306\right) =8{,}314462618\times 18{,}6306\approx 154{,}90\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Interpretação rápida: este valor é a entropia total do sistema contendo exatamente um mol de argônio nas condições dadas; como n=1, numericamente coincide com o valor molar de entropia S_m em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Resposta

S=154{,}90\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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