Faça o mapa de contorno da função, mostrando várias curvas de nível, em cada caso:
e^{1 /\left(x^{2}+y^{2}\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede: fazer o mapa de contorno (curvas de nível) da função \displaystyle e^{1/\left(x^{2}+y^{2}\right)}, ou seja, descrever e mostrar várias curvas de nível dessa função.
Informações dadas e observações imediatas do enunciado:
f(x,y)=e^{1/\left(x^{2}+y^{2}\right)}.
O domínio natural é todo o plano exceto o ponto (0,0), porque em (0,0) a expressão \left(x^{2}+y^{2}\right) é zero e a função não está definida aí. O pedido é traçar/identificar as curvas de nível, isto é, os conjuntos onde f(x,y) é constante para vários valores dessa constante.

Passo 2

O que é uma curva de nível (recapitulando devagar e com carinho): para uma função de duas variáveis f(x,y), uma curva de nível para um valor fixo c é o conjunto
\{(x,y)\mid f(x,y)=c\}.
Para cada c fixo, queremos resolver a equação f(x,y)=c. Aqui isso significa resolver
e^{1/\left(x^{2}+y^{2}\right)}=c.
Antes de manipular, note que o lado esquerdo é sempre positivo e, mais especificamente, sempre maior que 1 quando x^{2}+y^{2} é finito e positivo? Vamos ver: quando x^{2}+y^{2}\to\infty tem-se 1/(x^{2}+y^{2})\to 0 e e^{0}=1; quando x^{2}+y^{2} é pequeno e positivo, 1/(x^{2}+y^{2}) é grande e positivo, então e^{1/(x^{2}+y^{2})} é muito grande. Isso já sugere que os valores de f variam entre 1 (atingido só no limite infinito) e +\infty (quando nos aproximamos de (0,0)).

Passo 3

Para resolver as curvas de nível, passe para a coordenada radial. Defina \displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Assim r\ge 0 e a função depende apenas de r:
f(x,y)=e^{1/r^{2}} \quad\text{com } r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Agora imponha f(x,y)=c e resolva para r:
e^{1/r^{2}}=c.
Tomando logaritmo natural (isso é permitido desde que c>0; além disso, devido ao comportamento observado acima teremos que c>1 para existirem soluções finitas):
\frac{1}{r^{2}}=\ln c.
Desse modo
r^{2}=\frac{1}{\ln c}
e
r=\frac{1}{\sqrt{\ln c}}.
Importante: para que \ln c seja positivo (e \,r real), precisamos de
\ln c>0\quad\Longleftrightarrow\quad c>1.
Portanto há curvas de nível somente para valores c>1. Valores c\le 1 não correspondem a curvas de nível no plano (para c=1 a “curva” ficaria em r=\infty, ou seja, não existe uma curva de nível finita; para c<1 não há solução real).

Passo 4

Interpretação geométrica: a equação obtida determina círculos centrados na origem. Escrevendo em coordenadas cartesianas a curva de nível para um c>1 é:
x^{2}+y^{2}=\frac{1}{\ln c}.
Em parametrização polar (útil para desenhar):
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com
r=\frac{1}{\sqrt{\ln c}},\qquad \theta\in[0,2\pi).
Ou seja, para cada c>1 a curva de nível é um círculo de raio r\text{(c)}=1/\sqrt{\ln c} centrado em (0,0).

Passo 5

Comente o comportamento e a ordem das curvas:
  • Quando c\downarrow 1 (isto é, c se aproxima de 1 pelo lado direito), \ln c\downarrow 0^{+} e portanto r\text{(c)}=1/\sqrt{\ln c}\to +\infty. Isso confirma que níveis próximos de 1 ficam muito longe da origem.
  • Quando c\uparrow +\infty, temos \ln c\to +\infty e então r\text{(c)}\to 0^{+}. Ou seja, valores grandes de f correspondem a círculos muito próximos da origem.
  • As curvas são concêntricas e o valor de f diminui quando nos afastamos da origem: quanto maior r, menor f. O mapa de contorno, portanto, é um conjunto de círculos concêntricos com valores que decrescem do centro para fora, aproximando-se de 1 no infinito.

Passo 6

Mostre algumas curvas de nível concretas (escolhi raios fáceis para desenhar, e então calculei os c correspondentes). Em vez de escolher c e achar r, é prático escolher raios r simples e encontrar c=e^{1/r^{2}}. Exemplos úteis para desenhar curvas:
  • Para r=\tfrac{1}{2} (meio): \displaystyle c=e^{1/(1/2)^{2}}=e^{4}. A curva é o círculo de raio \tfrac{1}{2}.
  • Para r=1: \displaystyle c=e^{1/1^{2}}=e. A curva é o círculo de raio 1.
  • Para r=2: \displaystyle c=e^{1/2^{2}}=e^{1/4}. A curva é o círculo de raio 2.
  • Para r=3: \displaystyle c=e^{1/3^{2}}=e^{1/9}. A curva é o círculo de raio 3.
  • Pode também desenhar um círculo para r=0{,}25: \displaystyle c=e^{1/(0{,}25)^{2}}=e^{16} (bem grande, bem perto da origem).
Esses pares permitem marcar no desenho os níveis com as etiquetas numéricas \,e^{4},e,e^{1/4},e^{1/9},e^{16}\, etc., mostrando que os valores diminuem à medida que o raio cresce.

Passo 7

Instruções práticas para montar o mapa de contorno no papel (tipo “faça você mesmo”):
  1. Desenhe o eixo x e y e marque a origem.
  2. Trace círculos concêntricos de raios que desejar (por exemplo r=0{,}25,\;0{,}5,\;1,\;2,\;3).
  3. Ao lado de cada círculo escreva o valor do nível correspondente dado por \displaystyle c=e^{1/r^{2}}.
  4. Acrescente uma legenda indicando que a função não está definida em (0,0) e que os níveis aumentam quando se aproxima da origem; uma seta radial pode indicar que f\to+\infty quando r\to 0 e que f\to 1^{+} quando r\to\infty.
  5. Para densidade de curvas: perto da origem as curvas ficam muito próximas (pequenas mudanças em r resultam em grandes mudanças em c), enquanto longe da origem as curvas ficam muito espaçadas (valores de c próximos de 1).

Passo 8

Resumo final das fórmulas essenciais que você deve anotar no caderno para qualquer prova rápida:
\text{Curva de nível para }c>1:\qquad x^{2}+y^{2}=\frac{1}{\ln c}.í
\text{Raio em função de }c:\qquad r\text{(c)}=\frac{1}{\sqrt{\ln c}}.çã
Valores de exemplo (só para rabiscar no mapa):
r=\tfrac{1}{2}\Rightarrow c=e^{4},\qquad r=1\Rightarrow c=e,\qquad r=2\Rightarrow c=e^{1/4},\qquad r=3\Rightarrow c=e^{1/9}.

Resposta

Curvas de nível: x^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{\ln c} para c>1.
Raio da curva de nível: r\text{(c)}=\dfrac{1}{\sqrt{\ln c}}.
Exemplos: r=\tfrac{1}{2}\Rightarrow c=e^{4}; r=1\Rightarrow c=e; r=2\Rightarrow c=e^{1/4}; r=3\Rightarrow c=e^{1/9}.

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