Faça o mapa de contorno da função, mostrando várias curvas de nível, em cada caso:
Passo 1
O que o enunciado pede: fazer o mapa de contorno (curvas de nível) da função
, ou seja, descrever e mostrar várias curvas de nível dessa função.
Informações dadas e observações imediatas do enunciado:
O domínio natural é todo o plano exceto o ponto
, porque em
a expressão
é zero e a função não está definida aí. O pedido é traçar/identificar as curvas de nível, isto é, os conjuntos onde
é constante para vários valores dessa constante.
Passo 2
O que é uma curva de nível (recapitulando devagar e com carinho): para uma função de duas variáveis
, uma curva de nível para um valor fixo
é o conjunto
Para cada
fixo, queremos resolver a equação
. Aqui isso significa resolver
Antes de manipular, note que o lado esquerdo é sempre positivo e, mais especificamente, sempre maior que
quando
é finito e positivo? Vamos ver: quando
tem-se
e
; quando
é pequeno e positivo,
é grande e positivo, então
é muito grande. Isso já sugere que os valores de
variam entre
(atingido só no limite infinito) e
(quando nos aproximamos de
).
Passo 3
Para resolver as curvas de nível, passe para a coordenada radial. Defina
. Assim
e a função depende apenas de
:
Agora imponha
e resolva para
:
Tomando logaritmo natural (isso é permitido desde que
; além disso, devido ao comportamento observado acima teremos que
para existirem soluções finitas):
Desse modo
e
Importante: para que
seja positivo (e
real), precisamos de
Portanto há curvas de nível somente para valores
. Valores
não correspondem a curvas de nível no plano (para
a “curva” ficaria em
, ou seja, não existe uma curva de nível finita; para
não há solução real).
Passo 4
Interpretação geométrica: a equação obtida determina círculos centrados na origem. Escrevendo em coordenadas cartesianas a curva de nível para um
é:
Em parametrização polar (útil para desenhar):
com
Ou seja, para cada
a curva de nível é um círculo de raio
centrado em
.
Passo 5
Comente o comportamento e a ordem das curvas:
- Quando
(isto é, se aproxima de pelo lado direito), e portanto . Isso confirma que níveis próximos de ficam muito longe da origem. - Quando
, temos e então . Ou seja, valores grandes de correspondem a círculos muito próximos da origem. - As curvas são concêntricas e o valor de
diminui quando nos afastamos da origem: quanto maior , menor . O mapa de contorno, portanto, é um conjunto de círculos concêntricos com valores que decrescem do centro para fora, aproximando-se de no infinito.
Passo 6
Mostre algumas curvas de nível concretas (escolhi raios fáceis para desenhar, e então calculei os
correspondentes). Em vez de escolher
e achar
, é prático escolher raios
simples e encontrar
. Exemplos úteis para desenhar curvas:
- Para
(meio): A curva é o círculo de raio . - Para
: A curva é o círculo de raio . - Para
: A curva é o círculo de raio . - Para
: A curva é o círculo de raio . - Pode também desenhar um círculo para
: (bem grande, bem perto da origem).
Esses pares permitem marcar no desenho os níveis com as etiquetas numéricas
etc., mostrando que os valores diminuem à medida que o raio cresce.
Passo 7
Instruções práticas para montar o mapa de contorno no papel (tipo “faça você mesmo”):
- Desenhe o eixo
e e marque a origem. - Trace círculos concêntricos de raios que desejar (por exemplo
). - Ao lado de cada círculo escreva o valor do nível correspondente dado por
. - Acrescente uma legenda indicando que a função não está definida em
e que os níveis aumentam quando se aproxima da origem; uma seta radial pode indicar que quando e que quando . - Para densidade de curvas: perto da origem as curvas ficam muito próximas (pequenas mudanças em
resultam em grandes mudanças em ), enquanto longe da origem as curvas ficam muito espaçadas (valores de próximos de ).
Passo 8
Resumo final das fórmulas essenciais que você deve anotar no caderno para qualquer prova rápida:
Valores de exemplo (só para rabiscar no mapa):
Resposta
Curvas de nível:
para
.
Raio da curva de nível: .
Exemplos: ;
;
;
.
Raio da curva de nível:
Exemplos: