Você tem três partículas carregadas que estão inicialmente muito distantes uma da outra, e você deve juntá-las para formar um triângulo equilátero com lado ell. As partículas A e B possuem cada uma carga -q, enquanto que a partícula C possui carga +4 q.
Quanto trabalho você deve fazer para reorganizar as partículas de modo que elas fiquem em uma linha reta com a partícula C no ponto médio entre A e B com uma distância ell entre partículas adjacentes?

Passo 1

O enunciado diz que temos três cargas pontuais: A e B com carga -q cada, e C com carga +4q. Elas estão inicialmente já posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado \ell. Precisamos encontrar o trabalho que o agente externo deve realizar para passar dessa configuração triangular para uma configuração onde A, C e B ficam alinhadas, com C no ponto médio, de modo que AC=CB=\ell.
Conteúdo usado: energia potencial eletrostática de um sistema de cargas pontuais e relação entre trabalho externo e variação de energia potencial.

Passo 2

A energia potencial eletrostática de um conjunto de cargas pontuais é
U \;=\; k \sum_{i<j} \frac{q_i\,q_j}{r_{ij}}
onde k=1/(4\pi\varepsilon_0) e r_{ij} é a distância entre as cargas i e j.
O trabalho realizado pelo agente externo para ir de uma configuração inicial i para uma final f é
W_{\rm ext} \;=\; U_f - U_i.

Passo 3

Cálculo de U_{\rm tri}, a energia na configuração de triângulo equilátero (todas as três distâncias iguais a \ell):
  • Par A\!B: cargas -q e -q, energia
U_{AB} = k\,\frac{(-q)(-q)}{\ell} = k\,\frac{q^2}{\ell}.
  • Par A\!C: cargas -q e +4q, energia
U_{AC} = k\,\frac{(-q)(4q)}{\ell} = -4\,k\,\frac{q^2}{\ell}.
  • Par B\!C: mesmo resultado de A\!C, ou seja
U_{BC} = -4\,k\,\frac{q^2}{\ell}.
Somando,
U_{\rm tri} = k\frac{q^2}{\ell} -4k\frac{q^2}{\ell} -4k\frac{q^2}{\ell} = -7\,k\,\frac{q^2}{\ell}.

Passo 4

Cálculo de U_{\rm lin}, a energia na configuração em linha com AC=CB=\ell (logo AB=2\ell):
  • Par A\!C:
U_{AC} = -4\,k\,\frac{q^2}{\ell}.
  • Par C\!B: idem
U_{CB} = -4\,k\,\frac{q^2}{\ell}.
  • Par A\!B: cargas -q e -q separadas por 2\ell,
U_{AB} = k\,\frac{q^2}{2\ell} = \tfrac12\,k\,\frac{q^2}{\ell}.
Somando,
U_{\rm lin} = -4k\frac{q^2}{\ell} -4k\frac{q^2}{\ell} + \tfrac12\,k\frac{q^2}{\ell} = \Bigl(-8 + \tfrac12\Bigr)\,k\,\frac{q^2}{\ell} = -\tfrac{15}{2}\,k\,\frac{q^2}{\ell}.

Passo 5

Agora o trabalho externo para reorganizar da configuração triangular (inicial) para a linear (final) é
W_{\rm ext} = U_{\rm lin} - U_{\rm tri} = \Bigl(-\tfrac{15}{2} - (-7)\Bigr)\,k\,\frac{q^2}{\ell} = -\tfrac12\,k\,\frac{q^2}{\ell}.

Resposta

W_{\rm ext} = -\frac12\,k\,\frac{q^2}{\ell}.
Isso significa que a energia potencial do sistema diminui em \tfrac12\,kq^2/\ell ao passar do triângulo para a linha e, portanto, o agente externo realiza trabalho negativo (ou seja, retira energia do sistema) de magnitude \tfrac12\,kq^2/\ell.

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