Qual é a relação entre o número de pontos usados na interpolação e o grau do polinômio interpolador que pode ser calculado?
Passo 1
O que a pergunta pede: qual é a relação entre o número de pontos usados na interpolação e o grau do polinômio interpolador que pode ser calculado?
Informações dadas (implícitas no enunciado e que vamos assumir para responder): temos \(N) pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2), \dots, (x_N,y_N). Vamos assumir que os abscissas são distintas, ou seja, x_i \neq x_j para i\neq j. Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Enunciado da relação principal (resposta curta, que depois vamos justificar): com \(N) pontos de abscissas distintas existe um polinômio interpolador de grau no máximo \(N-1) que passa por todos os pontos, e esse polinômio é único (ou seja, há no máximo um polinômio de grau \le N-1 que interpola os \(N) pontos).
Por que o grau é no máximo \(N-1) — construção explícita (fórmula de Lagrange). Vou mostrar uma construção que garante existência: defina os polinômios de base de Lagrange
Aqui cada L_k(x) é um produto de N-1 fatores lineares, logo \deg(L_k)\le N-1. Observe que L_k(x_i)=0 quando i\neq k e L_k(x_k)=1. Então o polinômio
p(x)=\sum_{k=1}^{N} y_k\,L_k(x)
satisfaz p(x_i)=y_i para todo i. Logo existe um polinômio que interpola os N pontos e, pela forma acima, \deg(p)\le N-1.
Passo 3
Explicação didática do que significam as fórmulas: em \;L_k(x)=\prod_{j\ne k}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}\; cada fração é um termo linear em x. Multiplicando N-1 desses termos obtemos um polinômio cujo grau é a soma dos graus dos fatores, logo no máximo N-1. A combinação linear \sum y_k L_k(x) junta esses blocos de modo que, em x=x_i, todos os L_k com k\neq i valem zero e só resta y_i.
Passo 4
Unicidade do polinômio interpolador (por que “no máximo um” polinômio). Suponha que existam dois polinômios p e q com \deg(p)\le N-1 e \deg(q)\le N-1 que coincidem nos N pontos: p(x_i)=q(x_i) para todo i. Considere r(x)=p(x)-q(x). Então \deg(r)\le N-1 e r(x_i)=0 para i=1,\dots,N, ou seja, r tem N raízes distintas. Mas um polinômio não-nulo de grau \le N-1 só pode ter no máximo N-1 raízes distintas. Daí r precisa ser o polinômio nulo, o que implica p\equiv q. Conclusão: o interpolador de grau \le N-1 é único.
Passo 5
Outra visão (álgebra linear, para entender por que “N-1”): o espaço dos polinômios de grau \le n tem dimensão n+1 (base usual 1,x,x^2,\dots,x^n). Pedir que um polinômio a_0+a_1x+\dots+a_n x^n passe por N pontos gera um sistema linear de N equações nas n+1 incógnitas a_0,\dots,a_n. Se escolhemos n=N-1 temos N equações e N incógnitas. A matriz do sistema é a matriz de Vandermonde
Se os x_i são distintos, esse produto é não nulo, então o sistema tem solução única — outra forma de ver existência e unicidade.]
Passo 6
Exemplos simples para fixar a intuição:
Se N=2 (dois pontos com x_1\neq x_2) então existe um polinômio de grau \le 1 (uma reta) que passa pelos dois pontos — é a reta que une os pontos.
Se N=3 então existe um polinômio de grau \le 2 (quadrático) que passa pelos três pontos.
Esses exemplos você pode desenhar mentalmente: dois pontos determinam uma reta; três pontos (em posição geral) determinam uma parábola única.
Passo 7
Caveats e observações práticas (o que normalmente caí em prova):
É importante que as abscissas x_i sejam distintas; se houver abscissas repetidas com ordens maiores (derivadas), aí entra interpolação com condições de multiplicidade (interpolação de Hermite) — assunto diferente.
Quando os dados “acontecem” de se ajustar a um polinômio de grau menor, o interpolador de grau \le N-1 pode ter grau estritamente menor. Ou seja, a afirmação é “grau no máximo \(N-1)”.
Para muitos pontos igualmente espaçados, interpoladores de alto grau podem oscilar (fenômeno de Runge) — na prática pode-se preferir interpolação por splines ou ajustar por regressão em vez de usar um polinômio de grau muito alto.
Resposta
Com \(N) pontos de abscissas distintas existe um polinômio interpolador único de grau no máximo \(N-1) que passa por esses pontos.