Seja f: R R uma função integrável. Determine b in R sabendo que
integral f(x) d x=3 x^4 / 3+b arctg(x)-2 x+C
e que f(1)=5.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função integrável f:RtoR cuja primitiva é dada por
e que sabemos ainda que integral f(x),dx = 3x^4/3 + b,arctg(x) - 2x + C . O conteúdo aqui é derivação de primitiva e uso de condição inicial para determinar f(1)=5.

Passo 2

Derivando a primitiva em relação a x, obtemos f(x). Lembrando que
  • a derivada de 3x^4/3 é 3cdottfrac43x^1/3=4x^1/3,
  • a derivada de é barctg(x),
  • a derivada de b1+x^2 é -2x,
  • e -2 some na derivada.

Passo 3

Portanto
f(x)=4x^1/3+b1+x^2-2
Agora usamos a condição f(1)=5. Substituindo x=1, temos
f(1)=4cdot1^1/3+b1+1-2 = 4 + b2 -2 = 2 + b2
Igualando a 5, vem
2+b2=5

Passo 4

Resolvendo 2+tfracb2=5 temos
b2=3 Longrightarrow b=6

Resposta

6

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