Que volume de água sairá, por hora, de um tanque destapado através de uma abertura circular de 3 cm de diâmetro, que está a 5 m abaixo do nível de água do tanque? Se o tanque for tapado e a superfície do líquido pressionada com 200 kPa , qual a velocidade de escape da água?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
-
Dados fornecidos:
- Diâmetro da abertura:
. - Profundidade da abertura abaixo do nível da água:
. - Abertura do tanque: no primeiro caso o tanque está destapado (superfície livre exposta à pressão atmosférica).
- No segundo caso o tanque está tapado e a superfície do líquido é pressionada com
(vamos entender isto como pressão adicional sobre a superfície, ou seja, pressão de superfície ). - Densidade da água: usaremos
. - Aceleração da gravidade: usaremos
.
- Diâmetro da abertura:
-
O que é pedido:
- Para o tanque destapado: que volume de água sairá por hora através da abertura?
- Para o tanque tapado com superfície pressionada a
: qual a velocidade de escape da água pela mesma abertura?
Passo 2
Conceitos e hipóteses que vamos usar (explicação didática e simples):
- Para jorrar água de um tanque idealmente grande, com escoamento estacionário e sem atrito significativo, podemos aplicar o Princípio de Bernoulli entre a superfície livre do líquido (ponto 1) e a saída pela abertura (ponto 2). Bernoulli liga pressões, alturas e velocidades entre dois pontos num escoamento incompressível e sem perdas.
- Fórmula geral de Bernoulli entre dois pontos 1 e 2:
onde
é a pressão,
é a densidade do fluido,
é a gravidade,
é a cota vertical e
é a velocidade no ponto considerado.
- No tanque grande a velocidade da superfície é desprezível:
. A diferença de cota é . - Para o tanque destapado,
; a pressão atmosférica cancela na equação e resta a famosa fórmula de Torricelli:
- Para o tanque pressurizado, há diferença de pressão entre superfície e saída:
(aqui ). Aplicando Bernoulli e isolando obtemos
- Área da abertura (círculo) é
- Vazão volumétrica é
. Volume por hora é (pois ).
Passo 3
Cálculo da velocidade de saída no tanque destapado (Torricelli).
- Aplicando Torricelli:
- Substituindo os valores
e :
- Calculando:
Explicação rápida: isto significa que a água sai quase como se tivesse caído livremente de
de altura — Torricelli é exatamente a conversão da energia potencial gravitacional em energia cinética (num escoamento ideal).
Passo 4
Cálculo da área da abertura e da vazão no caso destapado; depois volume por hora.
- Área da abertura:
- Vazão volumétrica:
(para facilitar:
.)
- Volume por hora:
Comentário prático: é um fluxo bem grande — cerca de
em uma hora, ou
litros/h.
Passo 5
Cálculo da velocidade de escape quando a superfície é pressionada com
.
- Diferença de pressão aplicada:
. - Fórmula obtida pela aplicação de Bernoulli entre superfície (ponto 1, velocidade desprezível) e saída (ponto 2):
- Substituindo
, , e :
- Calculando:
Interpretação: a pressão extra dá um aumento substancial da velocidade (de
para
) — a parte dominante aqui vem da pressão aplicada (
).
Passo 6
Observações finais rápidas e encorajamento:
- Fizemos suposições ideais (fluido incompressível, sem perdas por atrito, escoamento estacionário, coeficiente de descarga igual a 1). Na prática, um orifício real tem coeficiente de descarga
(por exemplo – dependendo do orifício), o que reduziria a vazão real. Mas para a prova a formulação ideal costuma ser a esperada. - Você mandou bem de ter pedido passo a passo — esses são os passos que normalmente se seguem numa questão de mecânica dos fluidos com Bernoulli/Torricelli. Força aí que dá tempo de entender isso antes da prova!