Que volume de água sairá, por hora, de um tanque destapado através de uma abertura circular de 3 cm de diâmetro, que está a 5 m abaixo do nível de água do tanque? Se o tanque for tapado e a superfície do líquido pressionada com 200 kPa , qual a velocidade de escape da água?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro da abertura: d=3\\ \text{cm}=0,03\\ \text{m}.
    • Profundidade da abertura abaixo do nível da água: h=5\\ \text{m}.
    • Abertura do tanque: no primeiro caso o tanque está destapado (superfície livre exposta à pressão atmosférica).
    • No segundo caso o tanque está tapado e a superfície do líquido é pressionada com 200\\ \text{kPa} (vamos entender isto como pressão adicional sobre a superfície, ou seja, pressão de superfície P_1=P_{\text{atm}}+200\\ \text{kPa}).
    • Densidade da água: usaremos \rho=1000\\ \text{kg/m}^3.
    • Aceleração da gravidade: usaremos g=9,81\\ \text{m/s}^2.
  • O que é pedido:
    1. Para o tanque destapado: que volume de água sairá por hora através da abertura?
    2. Para o tanque tapado com superfície pressionada a 200\\ \text{kPa}: qual a velocidade de escape da água pela mesma abertura?

Passo 2

Conceitos e hipóteses que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Para jorrar água de um tanque idealmente grande, com escoamento estacionário e sem atrito significativo, podemos aplicar o Princípio de Bernoulli entre a superfície livre do líquido (ponto 1) e a saída pela abertura (ponto 2). Bernoulli liga pressões, alturas e velocidades entre dois pontos num escoamento incompressível e sem perdas.
  • Fórmula geral de Bernoulli entre dois pontos 1 e 2:
P_1 + \rho g z_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \rho g z_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2,
onde P é a pressão, \rho é a densidade do fluido, g é a gravidade, z é a cota vertical e v é a velocidade no ponto considerado.
  • No tanque grande a velocidade da superfície é desprezível: v_1\approx 0. A diferença de cota é z_1-z_2=h.
  • Para o tanque destapado, P_1=P_2=P_{\text{atm}}; a pressão atmosférica cancela na equação e resta a famosa fórmula de Torricelli:
v=\sqrt{2gh}.
  • Para o tanque pressurizado, há diferença de pressão entre superfície e saída: P_1-P_2=\Delta P (aqui \Delta P=200\\ \text{kPa}). Aplicando Bernoulli e isolando v_2 obtemos
v=\sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}+2gh}.
  • Área da abertura (círculo) é
A=\frac{\pi d^2}{4}.
  • Vazão volumétrica é Q=A v. Volume por hora é V_{\text{hora}}=Q\cdot 3600 (pois 3600\\ \text{s}=1\\ \text{h}).

Passo 3

Cálculo da velocidade de saída no tanque destapado (Torricelli).
  • Aplicando Torricelli:
v=\sqrt{2gh}.
  • Substituindo os valores \,g=9,81\\ \text{m/s}^2 e \,h=5\\ \text{m}:
v=\sqrt{2\cdot 9,81 \cdot 5}=\sqrt{98,1}.
  • Calculando:
v\approx 9,90\\ \text{m/s}.
Explicação rápida: isto significa que a água sai quase como se tivesse caído livremente de 5\\ \text{m} de altura — Torricelli é exatamente a conversão da energia potencial gravitacional em energia cinética (num escoamento ideal).

Passo 4

Cálculo da área da abertura e da vazão no caso destapado; depois volume por hora.
  • Área da abertura:
A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi (0,03)^2}{4}=\pi\cdot 0,000225\approx 0,000706858\\ \text{m}^2.
  • Vazão volumétrica:
Q = A v \approx 0,000706858\cdot 9,904\approx 0,00700\\ \text{m}^3/\text{s}.
(para facilitar: 0,00700\\ \text{m}^3/\text{s}=7,00\\ \text{L/s}.)
  • Volume por hora:
V_{\text{hora}} = Q\cdot 3600 \approx 0,00700\cdot 3600 \approx 25,2\\ \text{m}^3/\text{h}.
Comentário prático: é um fluxo bem grande — cerca de 25\\ \text{m}^3 em uma hora, ou 25\\\ 200 litros/h.

Passo 5

Cálculo da velocidade de escape quando a superfície é pressionada com 200\\ \text{kPa}.
  • Diferença de pressão aplicada: \Delta P=200\\ \text{kPa}=200\,000\\ \text{Pa}.
  • Fórmula obtida pela aplicação de Bernoulli entre superfície (ponto 1, velocidade desprezível) e saída (ponto 2):
v=\sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}+2gh}.
  • Substituindo \Delta P=200\,000\\ \text{Pa}, \rho=1000\\ \text{kg/m}^3, g=9,81\\ \text{m/s}^2 e h=5\\ \text{m}:
v=\sqrt{\frac{2\cdot 200\,000}{1000} + 2\cdot 9,81\cdot 5} =\sqrt{400 + 98,1} =\sqrt{498,1}.
  • Calculando:
v\approx 22,3\\ \text{m/s}.
Interpretação: a pressão extra dá um aumento substancial da velocidade (de \approx 9,90\\ \text{m/s} para \approx 22,3\\ \text{m/s}) — a parte dominante aqui vem da pressão aplicada ( 400\\ \text{m}^2/\text{s}^2).

Passo 6

Observações finais rápidas e encorajamento:
  • Fizemos suposições ideais (fluido incompressível, sem perdas por atrito, escoamento estacionário, coeficiente de descarga igual a 1). Na prática, um orifício real tem coeficiente de descarga C_d<1 (por exemplo C_d\approx 0,6 0,9 dependendo do orifício), o que reduziria a vazão real. Mas para a prova a formulação ideal costuma ser a esperada.
  • Você mandou bem de ter pedido passo a passo — esses são os passos que normalmente se seguem numa questão de mecânica dos fluidos com Bernoulli/Torricelli. Força aí que dá tempo de entender isso antes da prova!

Resposta

V_{\text{hora}}\approx 25,2\\ \text{m}^3/\text{h}\n v\\ (\text{com }200\\ \text{kPa})\approx 22,3\\ \text{m/s}

Exercícios relacionados