Um recipiente vertical longo de diâmetro interno 10 cm tem um orifício de 15 mm de diâmetro em seu lado, a 2 m abaixo do nível de água no recipiente. Determine: a) velocidade da água que sai pelo orifício. (b) a velocidade de abaixamento do nível de água no recipiente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) a velocidade da água que sai pelo orifício localizado a
abaixo do nível; - (b) a velocidade de abaixamento do nível de água no recipiente (isto é,
no instante em que a lâmina está a ).
Dados fornecidos (vou colocar em unidades do SI):
- diâmetro interno do recipiente:
; - diâmetro do orifício:
; - distância vertical do nível ao orifício:
; - aceleração da gravidade (valor padrão que usaremos):
.
Informações que vou usar implicitamente:
- assumimos escoamento ideal (sem perdas) para aplicar a fórmula de Torricelli/Bernoulli;
- o recipiente é cilíndrico (área da seção transversal constante), então a variação de volume
se relaciona com por .
Passo 2
Vamos calcular a velocidade de saída usando a ideia de Torricelli (derivada direta de Bernoulli). Vou primeiro ensinar o conceito e a fórmula.
A explicação física curta e didática:
- A fórmula de Torricelli diz que a velocidade da água que sai por um orifício a uma profundidade
abaixo da superfície livre é igual à velocidade que um corpo teria ao cair livremente por essa altura . Isso vem de aplicar o princípio de Bernoulli entre a superfície livre e o orifício, assumindo velocidade praticamente nula na superfície e pressão atmosférica igual nos dois pontos.
A fórmula resultante é
Aqui:
-
é a velocidade da água no orifício (m/s); -
é a aceleração da gravidade (m/s ); -
é a diferença de nível entre a superfície livre e o orifício (m).
Passo 3
Agora aplico a fórmula com os dados:
Calculo interno:
A raiz:
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas úteis):
Passo 4
Agora vamos ensinar e usar a conservação de massa (continuidade) para achar a velocidade de abaixamento do nível.
Conceito:
- O fluxo volumétrico que sai pelo orifício é
, onde é a área do orifício. - A diminuição do volume no tanque é dada por
, onde é a área da seção transversal do recipiente e é a altura do nível. - Conservação de massa (volume, para líquido incompressível): a vazão que sai é a perda de volume do tanque:
O sinal negativo indica que
diminui quando sai água.
Isolando
:
Substituindo
temos a expressão geral
Passo 5
Agora calculamos as áreas numéricas para o nosso caso (lembre que o diâmetro do recipiente é
, do orifício é
).
Área do recipiente (seção transversal circular):
Numericamente:
Área do orifício:
Numericamente:
Observação rápida (atalho útil): a razão
é igual ao quadrado da razão entre os raios, ou seja
Isso evita cálculos extras e é exato dado os valores.
Passo 6
Agora calculamos
no instante
.
Usamos a expressão
Substituindo
e
calculado no Passo 3 (
):
Multiplicando:
Interpretação: o nível está caindo a aproximadamente
(ou
) naquele instante; o sinal negativo indica diminuição da altura.
Resposta
(a)
(b)
(b)