Um recipiente vertical longo de diâmetro interno 10 cm tem um orifício de 15 mm de diâmetro em seu lado, a 2 m abaixo do nível de água no recipiente. Determine: a) velocidade da água que sai pelo orifício. (b) a velocidade de abaixamento do nível de água no recipiente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) a velocidade da água que sai pelo orifício localizado a 2\\ \mathrm{m} abaixo do nível;
  • (b) a velocidade de abaixamento do nível de água no recipiente (isto é, \dfrac{dh}{dt} no instante em que a lâmina está a h=2\\ \mathrm{m}).
Dados fornecidos (vou colocar em unidades do SI):
  • diâmetro interno do recipiente: \,D_\text{rec} = 10\\ \mathrm{cm} = 0,10\\ \mathrm{m};
  • diâmetro do orifício: \,D_o = 15\\ \mathrm{mm} = 0,015\\ \mathrm{m};
  • distância vertical do nível ao orifício: \,h = 2\\ \mathrm{m};
  • aceleração da gravidade (valor padrão que usaremos): \,g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
Informações que vou usar implicitamente:
  • assumimos escoamento ideal (sem perdas) para aplicar a fórmula de Torricelli/Bernoulli;
  • o recipiente é cilíndrico (área da seção transversal constante), então a variação de volume \dfrac{dV}{dt} se relaciona com \dfrac{dh}{dt} por \dfrac{dV}{dt} = A_\text{rec}\,\dfrac{dh}{dt}.

Passo 2

Vamos calcular a velocidade de saída usando a ideia de Torricelli (derivada direta de Bernoulli). Vou primeiro ensinar o conceito e a fórmula.
A explicação física curta e didática:
  • A fórmula de Torricelli diz que a velocidade da água que sai por um orifício a uma profundidade h abaixo da superfície livre é igual à velocidade que um corpo teria ao cair livremente por essa altura h. Isso vem de aplicar o princípio de Bernoulli entre a superfície livre e o orifício, assumindo velocidade praticamente nula na superfície e pressão atmosférica igual nos dois pontos.
    A fórmula resultante é
v = \sqrt{2 g h}.
Aqui:
  • v é a velocidade da água no orifício (m/s);
  • g é a aceleração da gravidade (m/s ^2);
  • h é a diferença de nível entre a superfície livre e o orifício (m).

Passo 3

Agora aplico a fórmula com os dados:
v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 2}.
Calculo interno:
2 g h = 2 \cdot 9,81 \cdot 2 = 39,24\\ \mathrm{m^2/s^2}.
A raiz:
v = \sqrt{39,24} \approx 6,264\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas úteis):
v \approx 6,26\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora vamos ensinar e usar a conservação de massa (continuidade) para achar a velocidade de abaixamento do nível.
Conceito:
  • O fluxo volumétrico que sai pelo orifício é Q = a_o \, v, onde a_o é a área do orifício.
  • A diminuição do volume no tanque é dada por \dfrac{dV}{dt} = A_\text{rec}\,\dfrac{dh}{dt}, onde A_\text{rec} é a área da seção transversal do recipiente e h é a altura do nível.
  • Conservação de massa (volume, para líquido incompressível): a vazão que sai é a perda de volume do tanque:
A_\text{rec}\,\dfrac{dh}{dt} = -\,a_o\,v.
O sinal negativo indica que h diminui quando sai água.
Isolando \dfrac{dh}{dt}:
\dfrac{dh}{dt} = -\,\dfrac{a_o}{A_\text{rec}}\,v.
Substituindo v=\sqrt{2 g h} temos a expressão geral
\dfrac{dh}{dt} = -\,\dfrac{a_o}{A_\text{rec}}\,\sqrt{2 g h}.

Passo 5

Agora calculamos as áreas numéricas para o nosso caso (lembre que o diâmetro do recipiente é 0,10\\ \mathrm{m}, do orifício é 0,015\\ \mathrm{m}).
Área do recipiente (seção transversal circular):
A_\text{rec} = \pi \left(\dfrac{D_\text{rec}}{2}\right)^{\!2} = \pi (0,05)^2 = \pi \cdot 0,0025.
Numericamente:
A_\text{rec} \approx 3,1416 \cdot 0,0025 \approx 0,007854\\ \mathrm{m^2}.
Área do orifício:
a_o = \pi \left(\dfrac{D_o}{2}\right)^{\!2} = \pi (0,0075)^2 = \pi \cdot 0,00005625.
Numericamente:
a_o \approx 3,1416 \cdot 0,00005625 \approx 0,0001767\\ \mathrm{m^2}.
Observação rápida (atalho útil): a razão \dfrac{a_o}{A_\text{rec}} é igual ao quadrado da razão entre os raios, ou seja
\dfrac{a_o}{A_\text{rec}} = \left(\dfrac{0,0075}{0,05}\right)^{\!2} = (0,15)^2 = 0,0225.
Isso evita cálculos extras e é exato dado os valores.

Passo 6

Agora calculamos \dfrac{dh}{dt} no instante h=2\\ \mathrm{m}.
Usamos a expressão
\dfrac{dh}{dt} = -\,\dfrac{a_o}{A_\text{rec}}\,\sqrt{2 g h}.
Substituindo \dfrac{a_o}{A_\text{rec}} = 0,0225 e \sqrt{2 g h} calculado no Passo 3 ( \approx 6,264\\ \mathrm{m/s}):
\dfrac{dh}{dt} = -\,0,0225 \cdot 6,264\\ \mathrm{m/s}.
Multiplicando:
\dfrac{dh}{dt} \approx -\,0,141\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o nível está caindo a aproximadamente 0,141\\ \mathrm{m/s} (ou 14,1\\ \mathrm{cm/s}) naquele instante; o sinal negativo indica diminuição da altura.

Resposta

(a) v \approx 6,26\\ \mathrm{m/s}
(b) \dfrac{dh}{dt}\bigg|_{h=2\\ \mathrm{m}} \approx -\,0,141\\ \mathrm{m/s}

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