3.4.4 Uma densidade volumétrica de carga rhoc=k / r C / m^3 existe em uma regiāo esférica a <= r <= b. Determine o vetor intensidade de campo elétrico. [Er=k(b^2-a^2) / 2 varepsilonr r^2 para r >= b, Er=0 para r <= a, Er=k(1-a^2 / r^2) / 2 varepsilon0, para a <= r <= b]

Passo 1

O enunciado descreve uma densidade volumétrica de carga
rhoc(r)=kr
distribuída em uma casca esférica para a<= r<= b. Devido à simetria esférica, o campo elétrico E será radial, ou seja, E=Er(r),hat r. Para obter Er(r), aplicamos a Lei de Gauss em uma superfície esférica de raio r:
oint Ecdot d A=Qrm encvarepsilon0

Passo 2

Para r<= a, a superfície gaussiana não engloba nenhuma carga (pois rhoc=0 para r<a). Logo, Qrm enc=0 e da Lei de Gauss segue
Er(r),4pi r^2=0 Longrightarrow Er(r)=0,
ou seja, E(r)=0 para r<= a.

Passo 3

Para a<= r<= b, a carga envolvida é
Qrm enc(r) =integrala^rrhoc(r'),4pi r'^2,dr' =4pi kintegrala^rr',dr' =2pi kl(r^2-a^2r)
Aplicando Gauss:
Er(r),4pi r^2 =Qrm enc(r)varepsilon0 Longrightarrow Er(r) =2pi k,(r^2-a^2)4pivarepsilon0,r^2 =k2varepsilon0l(1-a^2r^2r)
Portanto E(r)=Er(r),hat r para a<= r<= b.

Passo 4

Para r>= b, toda a carga da casca está envolvida, com
Qrm tot =Qrm enc(b) =2pi kl(b^2-a^2r)
Da Lei de Gauss:
Er(r),4pi r^2 =Qrm totvarepsilon0 Longrightarrow Er(r) =2pi k,(b^2-a^2)4pivarepsilon0,r^2 =k,(b^2-a^2)2varepsilon0,r^2
Logo E(r)=Er(r),hat r para r>= b.

Resposta

E(r)= 0, & r <= a, [6pt] dfrack2varepsilon0l(1-dfraca^2r^2r),r, & a <= r <= b, [8pt] dfrack,(b^2 - a^2)2varepsilon0,r^2,r, & r >= b ]

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