O volume de um cilindro é dado por
, onde
é o raio de sua base e
sua altura.
Determine a função
que descreve a área de sua superfície.
Determine a função
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: temos um cilindro cujo volume é dado pela fórmula $ V = 2 \pi r^{2} h $, onde $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura. Nosso objetivo é determinar a função $ S(r, h) $ que representa a área da superfície desse cilindro. Para isso, vamos precisar entender como calcular a área da superfície de um cilindro utilizando conceitos de geometria.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que a área da superfície de um cilindro é composta por duas partes principais: a área das duas bases circulares e a área lateral (a “parede” do cilindro).
Passo 3
Vamos calcular a área de uma base circular. A fórmula para a área de um círculo é $ A = \pi r^{2} $. Como o cilindro tem duas bases, multiplicamos essa área por 2:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área lateral do cilindro. A área lateral pode ser visualizada como um retângulo que, quando enrolado, forma a “parede” do cilindro. A altura desse retângulo é $ h $ e a largura é igual ao comprimento da circunferência da base, que é $ 2 \pi r $. Portanto, a área lateral é:
Passo 5
Para encontrar a área total da superfície do cilindro, somamos a área das duas bases com a área lateral:
Resposta
A função que descreve a área da superfície do cilindro é: