Descreva as superfícies de nível da função.(revisar quádricas) - elipsoides, paraboloides, hiperboloides)
f(x, y, z)=x+3 y+5 z

Passo 1

O enunciado pede para descrever as superfícies de nível da função f(x,y,z)=x+3y+5z. O conteúdo é superfícies de nível de funções de três variáveis, e vamos precisar usar o conceito de nível (isto é, o conjunto de pontos em que a função assume um valor constante) e a noção de vetor normal a um plano.

Passo 2

Superfície de nível para um valor k é o conjunto (x,y,z)mid f(x,y,z)=k. Aqui vamos aplicar essa definição com f(x,y,z)=x+3y+5z.
Igualando f(x,y,z) a uma constante k, obtemos a equação
x + 3y + 5z = k

Passo 3

Reconhecemos que essa é a equação geral de um plano no espaço. Para ver isso, podemos observar que o vetor gradiente de f, dado por nabla f=(1,3,5), atua como vetor normal a esse plano.
Logo, cada superfície de nível x+3y+5z=k é um plano ortogonal ao vetor normal (1,3,5). À medida que variamos k, obtemos planos paralelos deslocados ao longo da direção de (1,3,5).

Passo 4

Em particular, o plano intercepta os eixos coordenados nos pontos
(k,0,0), (0,,k/3,0), (0,0,,k/5),
e sua distância ao ponto origem é
|k|raiz1^2+3^2+5^2=|k|raiz35

Resposta

As superfícies de nível são os planos paralelos definidos por x+3y+5z=k, com kinR. Cada plano é ortogonal ao vetor (1,3,5) e desloca-se ao longo dessa direção conforme k varia.

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