Descreva as superfícies de nível da função.(revisar quádricas) - elipsoides, paraboloides, hiperboloides)
Passo 1
O enunciado pede para descrever as superfícies de nível da função
. O conteúdo é superfícies de nível de funções de três variáveis, e vamos precisar usar o conceito de nível (isto é, o conjunto de pontos em que a função assume um valor constante) e a noção de vetor normal a um plano.
Passo 2
Superfície de nível para um valor
é o conjunto
. Aqui vamos aplicar essa definição com
.
Igualando a uma constante
, obtemos a equação
Igualando
Passo 3
Reconhecemos que essa é a equação geral de um plano no espaço. Para ver isso, podemos observar que o vetor gradiente de
, dado por
, atua como vetor normal a esse plano.
Logo, cada superfície de nível é um plano ortogonal ao vetor normal
. À medida que variamos
, obtemos planos paralelos deslocados ao longo da direção de
.
Logo, cada superfície de nível
Passo 4
Em particular, o plano intercepta os eixos coordenados nos pontos
e sua distância ao ponto origem é
Resposta
As superfícies de nível são os planos paralelos definidos por
, com
. Cada plano é ortogonal ao vetor
e desloca-se ao longo dessa direção conforme
varia.