Qual o volume, em cm { }^{3}, da esfera inscrita em um cone circular reto de 24 cm de altura e 10 cm de raio da base?
(A) \frac{32000 \pi}{81}
(B) \frac{16000 \pi}{9}
(C) \frac{64000 \pi}{81}
(D) \frac{16000 \pi}{81}
(E) \frac{32000 \pi}{27}

Passo 1

O enunciado pede o volume da esfera inscrita em um cone circular reto. Informações dadas:
  • Altura do cone: H=24 cm (peguei do enunciado).
  • Raio da base do cone: R=10 cm (peguei do enunciado).
  • Objetivo: encontrar o volume, em \text{cm}^3, da esfera inscrita nesse cone (ou seja, a esfera que toca a base do cone e a superfície lateral).

Passo 2

Vamos definir as variáveis e a configuração geométrica de forma clara (imagina o corte vertical pelo eixo do cone; aparece um triângulo isósceles com uma circunferência inscrita).
  • Seja r o raio da esfera inscrita (é o que queremos achar indiretamente para depois calcular o volume).
  • No corte axial, o centro da esfera está sobre o eixo do cone a uma distância r acima da base. Assim, a coordenada do centro (medida a partir do vértice do triângulo/ápice do cone) é y_c=H-r.
  • A superfície lateral do cone, no corte, é uma reta que passa pelo ápice (0,0) e pelo ponto da borda da base (R,H). A equação dessa reta é
x-\frac{R}{H}\,y=0.
  • A esfera (no corte, um círculo) é tangente a essa reta; portanto a distância do centro (0,y_c) até a reta deve ser exatamente r.
    Aqui estamos usando a ideia básica: a esfera inscrita é tangente ao lado do cone e à base; na seção, o raio do círculo inscrito é a distância perpendicular do centro à reta lateral.

Passo 3

Usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta no plano. Para a reta x-\dfrac{R}{H}y=0 e o ponto (0,y_c), a distância d é
d=\frac{\left|1\cdot 0 + \left(-\dfrac{R}{H}\right)y_c + 0\right|}{\sqrt{1^2+\left(-\dfrac{R}{H}\right)^2}} =\frac{\dfrac{R}{H}\,y_c}{\sqrt{1+\dfrac{R^2}{H^2}}} =\frac{R\,y_c}{\sqrt{H^2+R^2}}.
Como essa distância é o raio da esfera, temos
r=\frac{R\,y_c}{\sqrt{H^2+R^2}}.
Lembrando que y_c=H-r, substituímos:
r=\frac{R\,(H-r)}{\sqrt{H^2+R^2}}.
Agora é só resolver essa equação para r. Multiplicando ambos os lados por \sqrt{H^2+R^2} obtemos
r\sqrt{H^2+R^2}=R(H-r).
Reorganizando termos em r:
r\bigl(\sqrt{H^2+R^2}+R\bigr)=R H,
logo
r=\frac{R H}{R+\sqrt{H^2+R^2}}.
Essa é uma fórmula útil: o raio da esfera inscrita no cone reto.

Passo 4

Agora substituímos H=24 e R=10. Primeiro calculamos \sqrt{H^2+R^2}:
\sqrt{H^2+R^2}=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26.
Substituindo na fórmula de r:
r=\frac{10\cdot 24}{10+26}=\frac{240}{36}=\frac{20}{3}\\ \text{cm}.
Portanto o raio da esfera inscrita é \dfrac{20}{3} cm. (Respira — já falta só calcular o volume.)

Passo 5

Fórmula do volume da esfera e cálculo final. A fórmula do volume da esfera de raio r é
V=\frac{4}{3}\pi r^3,
onde r é o raio da esfera e \pi é o número pi. Substituindo r=\dfrac{20}{3}:
r^3=\left(\frac{20}{3}\right)^3=\frac{8000}{27}.
Logo
V=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{8000}{27}=\frac{4\cdot 8000}{3\cdot 27}\pi=\frac{32000}{81}\pi.

Resposta

(A) \displaystyle \frac{32000\pi}{81}

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