Qual o volume, em cm { }^{3}, da esfera inscrita em um cone circular reto de 24 cm de altura e 10 cm de raio da base?
(A) \frac{32000 \pi}{81}
(B) \frac{16000 \pi}{9}
(C) \frac{64000 \pi}{81}
(D) \frac{16000 \pi}{81}
(E) \frac{32000 \pi}{27}
Passo 1
O enunciado pede o volume da esfera inscrita em um cone circular reto. Informações dadas:
Altura do cone: H=24 cm (peguei do enunciado).
Raio da base do cone: R=10 cm (peguei do enunciado).
Objetivo: encontrar o volume, em \text{cm}^3, da esfera inscrita nesse cone (ou seja, a esfera que toca a base do cone e a superfície lateral).
Passo 2
Vamos definir as variáveis e a configuração geométrica de forma clara (imagina o corte vertical pelo eixo do cone; aparece um triângulo isósceles com uma circunferência inscrita).
Seja r o raio da esfera inscrita (é o que queremos achar indiretamente para depois calcular o volume).
No corte axial, o centro da esfera está sobre o eixo do cone a uma distância r acima da base. Assim, a coordenada do centro (medida a partir do vértice do triângulo/ápice do cone) é y_c=H-r.
A superfície lateral do cone, no corte, é uma reta que passa pelo ápice (0,0) e pelo ponto da borda da base (R,H). A equação dessa reta é
x-\frac{R}{H}\,y=0.
A esfera (no corte, um círculo) é tangente a essa reta; portanto a distância do centro (0,y_c) até a reta deve ser exatamente r.
Aqui estamos usando a ideia básica: a esfera inscrita é tangente ao lado do cone e à base; na seção, o raio do círculo inscrito é a distância perpendicular do centro à reta lateral.
Passo 3
Usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta no plano. Para a reta x-\dfrac{R}{H}y=0 e o ponto (0,y_c), a distância d é