Dada
f(t)=\left\{\begin{array}{l} \operatorname{sen} t, \quad 0 \leq t<\pi \\\ t^{2}, \quad \pi \leq t<4 \\\\ 2 \quad t \geq 4 \end{array}\right.
Desenhe o gráfico de f(t) (não se preocupe com a escala). Expresse f(t) utilizando funções escada u(t- a)=u_{a}(t). Utilizando a expressão da função f(t) encontrada, calcule a Transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\} justificando todas as propriedades da tabela de Transformadas de Laplace usadas.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)=\begin{cases} \sin t, & 0 \le t<\pi,\\[4pt] t^{2}, & \pi \le t<4,\\[4pt] 2, & t\ge 4, \end{cases}
e pede três coisas: (a) desenhar o gráfico (não importa escala); (b) escrever f(t) usando funções escada u(t-a); (c) calcular \mathcal{L}\{f(t)\} justificando as propriedades usadas.
Informações relevantes fornecidas:
  • Em 0\le t<\pi temos f(t)=\sin t.
  • Em \pi\le t<4 temos f(t)=t^{2}.
  • Em t\ge 4 temos f(t)=2.
  • Observações de continuidade nos pontos de mudança:
    • \sin(\pi)=0 enquanto a segunda peça em t=\pi vale \pi^{2} → há um salto em t=\pi.
    • Limite pela esquerda em t=4 de t^{2} é 16, enquanto valor em t=4 pela terceira peça é 2 → há um salto em t=4.]

Passo 2

Desenho do gráfico (passo a passo, sem escala):
  • Para 0\le t<\pi: traçar a curva y=\sin t desde t=0 até t pouco menor que \pi. No ponto t=0 temos \sin0=0. Em t\to\pi^{-} a curva chega em 0 (pois \sin\pi=0); esse ponto à esquerda é o fim do ramo seno (marcar um ponto aberto em (\pi,0) se quiser destacar a definição, mas observe que a definição original exclui o \pi para esse ramo).
  • Em t=\pi: o valor da função passa a ser f(\pi)=\pi^{2} (marcar um ponto cheio em (\pi,\pi^{2})). Assim existe um salto grande de 0 até \pi^{2}.
  • Para \pi\le t<4: traçar a parábola y=t^{2} começando no ponto (\pi,\pi^{2}) e aumentando até aproximar-se de (4,16) pela esquerda (não inclui t=4 neste ramo).
  • Em t=4: a definição a partir de t\ge4 f(4)=2 (marcar um ponto cheio em (4,2)); portanto há outro salto de valor próximo de 16 para 2.
  • Para t>4: a função é constante y=2 (traçar segmento horizontal).
    Isso é suficiente para esboçar corretamente o gráfico pedido.

Passo 3

Definição e ideia para escrever com escadas:
  • A função escada deslocada é \;u(t-a)=\begin{cases}0,&t<a,\\\ 1,&t>a,\end{cases} (o valor em t=a não importa para transformada).
  • Uma forma padrão de construir uma função por partes usando escadas é começar com a peça inicial e, em cada ponto de mudança a, somar u(t-a) vezes a diferença entre a nova peça e a peça anterior avaliada em t.
  • Usando essa ideia, uma expressão simples e direta é
f(t)=\sin t + u(t-\pi)\bigl(t^{2}-\sin t\bigr) + u(t-4)\bigl(2 - t^{2}\bigr).
Verificação rápida por intervalos:
  • Se t<\pi: u(t-\pi)=0 e u(t-4)=0, então f(t)=\sin t.
  • Se \pi\le t<4: u(t-\pi)=1, u(t-4)=0, então f(t)=\sin t + (t^{2}-\sin t)=t^{2}.
  • Se t\ge4: u(t-\pi)=1, u(t-4)=1, então f(t)=\sin t + (t^{2}-\sin t) + (2-t^{2})=2.
    Portanto a expressão está correta.

Passo 4

Plano para calcular \mathcal{L}\{f(t)\} e propriedades usadas (justificando):
  • Vamos usar a linearidade da transformada: \mathcal{L}\{a(t)+b(t)\}=\mathcal{L}\{a(t)\}+\mathcal{L}\{b(t)\}. (Propriedade básica do operador integral linear.)
  • Usaremos fórmulas padrão da tabela:
    • \displaystyle \mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1}. Isto vem do cálculo integral da transformada de \sin t ou da tabela: \mathcal{L}\{\sin (a t)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}} com a=1.
    • \displaystyle \mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}. Em particular \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}} e \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}.
    • \displaystyle \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}, então \mathcal{L}\{2\}=\dfrac{2}{s}.
  • Usaremos o teorema do segundo deslocamento (time-shifting com função escada): se g(t) é tal que \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), então
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}=e^{-a s}G(s).
Isso significa que, para aplicar o deslocamento, as expressões multiplicadas por u(t-a) devem ser escritas como funções de (t-a). Assim vamos reescrever as peças u(t-\pi)(t^{2}-\sin t) e u(t-4)(2-t^{2}) em termos de (t-\pi) e (t-4) respectivamente, e depois aplicar o teorema.

Passo 5

Reescrevendo u(t-\pi)\bigl(t^{2}-\sin t\bigr) em função de \tau=t-\pi:
  • Coloque t=\tau+\pi. Então
t^{2}=(\tau+\pi)^{2}=\tau^{2}+2\pi\tau+\pi^{2}.
  • Para o seno, use a identidade \sin(\tau+\pi)=-\sin\tau. Como t=\tau+\pi, obtemos \sin t=\sin(\tau+\pi)=-\sin\tau.
  • Portanto, para t\ge\pi,
t^{2}-\sin t = \bigl(\tau^{2}+2\pi\tau+\pi^{2}\bigr) - \bigl(-\sin\tau\bigr) = \tau^{2} + 2\pi\tau + \pi^{2} + \sin\tau.
Assim
u(t-\pi)\bigl(t^{2}-\sin t\bigr) = u(t-\pi)\Bigl[(t-\pi)^{2} + 2\pi (t-\pi) + \pi^{2} + \sin(t-\pi)\Bigr].

Passo 6

Reescrevendo u(t-4)\bigl(2-t^{2}\bigr) em função de \sigma=t-4:
  • Coloque t=\sigma+4. Então
t^{2}=(\sigma+4)^{2}=\sigma^{2}+8\sigma+16.
  • Logo
2 - t^{2} = 2 - \bigl(\sigma^{2}+8\sigma+16\bigr) = -\sigma^{2} - 8\sigma -14.
Portanto
u(t-4)\bigl(2-t^{2}\bigr) = u(t-4)\Bigl[-(t-4)^{2} - 8(t-4) -14\Bigr].

Passo 7

Agora aplicamos a linearidade e o teorema do deslocamento termo a termo. Primeiro, escrevemos \mathcal{L}\{f\} como soma:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\mathcal{L}\{\sin t\} + \mathcal{L}\Bigl\{u(t-\pi)\bigl[(t-\pi)^{2} + 2\pi (t-\pi) + \pi^{2} + \sin(t-\pi)\bigr]\Bigr\}
\qquad\qquad + \mathcal{L}\Bigl\{u(t-4)\bigl[-(t-4)^{2} - 8(t-4) -14\bigr]\Bigr\}.
Aplicando o teorema do deslocamento (cada termo do tipo u(t-a)h(t-a) transforma-se em e^{-a s}\mathcal{L}\{h(t)\}):
  • \displaystyle \mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1}.
  • Para o bloco multiplicado por u(t-\pi):
    • \displaystyle \mathcal{L}\{(t-\pi)^{2}\}=\frac{2}{s^{3}}.
    • \displaystyle \mathcal{L}\{(t-\pi)\}=\frac{1}{s^{2}}, então \mathcal{L}\{2\pi (t-\pi)\}=\frac{2\pi}{s^{2}}.
    • \displaystyle \mathcal{L}\{\pi^{2}\}=\frac{\pi^{2}}{s}.
    • \displaystyle \mathcal{L}\{\sin(t-\pi)\}=\frac{1}{s^{2}+1}.
    • Aplicando o deslocamento com a=\pi a todo o bloco temos o fator multiplicativo e^{-\pi s}. Assim o contributo é
    e^{-\pi s}\left(\frac{2}{s^{3}} + \frac{2\pi}{s^{2}} + \frac{\pi^{2}}{s} + \frac{1}{s^{2}+1}\right).
  • Para o bloco multiplicado por u(t-4) (observe os sinais negativos):
    • \displaystyle \mathcal{L}\{(t-4)^{2}\}=\frac{2}{s^{3}}, então \mathcal{L}\{- (t-4)^{2}\}=-\frac{2}{s^{3}}.
    • \displaystyle \mathcal{L}\{(t-4)\}=\frac{1}{s^{2}}, então \mathcal{L}\{-8(t-4)\}=-\frac{8}{s^{2}}.
    • \displaystyle \mathcal{L}\{14\}=\frac{14}{s}, então \mathcal{L}\{-14\}=-\frac{14}{s}.
    • Aplicando o deslocamento com a=4 multiplica-se por e^{-4s}. Assim o contributo é
    e^{-4s}\left(-\frac{2}{s^{3}} - \frac{8}{s^{2}} - \frac{14}{s}\right).

Passo 8

Somando todos os termos obtemos a transformada final:
\boxed{\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1} + e^{-\pi s}\!\left(\frac{2}{s^{3}}+\frac{2\pi}{s^{2}}+\frac{\pi^{2}}{s}+\frac{1}{s^{2}+1}\right) - e^{-4s}\!\left(\frac{2}{s^{3}}+\frac{8}{s^{2}}+\frac{14}{s}\right)}
Todas as etapas usaram apenas linearidade, as fórmulas padrão \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}, \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1} e o teorema do segundo deslocamento \mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-a s}G(s).

Resposta

O gráfico: ramo y=\sin t para 0\le t<\pi terminando em 0 à esquerda de \pi; salto para o ponto (\pi,\pi^{2}); ramo parabólico y=t^{2} para \pi\le t<4 aproximando-se de 16 à esquerda de 4; salto para o ponto (4,2); e segmento horizontal y=2 para t\ge4.
A expressão com escadas:
f(t)=\sin t + u(t-\pi)\bigl(t^{2}-\sin t\bigr) + u(t-4)\bigl(2 - t^{2}\bigr).
A transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1} + e^{-\pi s}\!\left(\frac{2}{s^{3}}+\frac{2\pi}{s^{2}}+\frac{\pi^{2}}{s}+\frac{1}{s^{2}+1}\right) - e^{-4s}\!\left(\frac{2}{s^{3}}+\frac{8}{s^{2}}+\frac{14}{s}\right).

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