Desenhe o gráfico de f(t) (não se preocupe com a escala). Expresse f(t) utilizando funções escada u(t- a)=u_{a}(t). Utilizando a expressão da função f(t) encontrada, calcule a Transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\} justificando todas as propriedades da tabela de Transformadas de Laplace usadas.
e pede três coisas: (a) desenhar o gráfico (não importa escala); (b) escrever f(t) usando funções escada u(t-a); (c) calcular \mathcal{L}\{f(t)\} justificando as propriedades usadas.
Informações relevantes fornecidas:
Em 0\le t<\pi temos f(t)=\sin t.
Em \pi\le t<4 temos f(t)=t^{2}.
Em t\ge 4 temos f(t)=2.
Observações de continuidade nos pontos de mudança:
\sin(\pi)=0 enquanto a segunda peça em t=\pi vale \pi^{2} → há um salto em t=\pi.
Limite pela esquerda em t=4 de t^{2} é 16, enquanto valor em t=4 pela terceira peça é 2 → há um salto em t=4.]
Passo 2
Desenho do gráfico (passo a passo, sem escala):
Para 0\le t<\pi: traçar a curva y=\sin t desde t=0 até t pouco menor que \pi. No ponto t=0 temos \sin0=0. Em t\to\pi^{-} a curva chega em 0 (pois \sin\pi=0); esse ponto à esquerda é o fim do ramo seno (marcar um ponto aberto em (\pi,0) se quiser destacar a definição, mas observe que a definição original exclui o \pi para esse ramo).
Em t=\pi: o valor da função passa a ser f(\pi)=\pi^{2} (marcar um ponto cheio em (\pi,\pi^{2})). Assim existe um salto grande de 0 até \pi^{2}.
Para \pi\le t<4: traçar a parábola y=t^{2} começando no ponto (\pi,\pi^{2}) e aumentando até aproximar-se de (4,16) pela esquerda (não inclui t=4 neste ramo).
Em t=4: a definição a partir de t\ge4 dá f(4)=2 (marcar um ponto cheio em (4,2)); portanto há outro salto de valor próximo de 16 para 2.
Para t>4: a função é constante y=2 (traçar segmento horizontal).
Isso é suficiente para esboçar corretamente o gráfico pedido.
Passo 3
Definição e ideia para escrever com escadas:
A função escada deslocada é \;u(t-a)=\begin{cases}0,&t<a,\\\ 1,&t>a,\end{cases} (o valor em t=a não importa para transformada).
Uma forma padrão de construir uma função por partes usando escadas é começar com a peça inicial e, em cada ponto de mudança a, somar u(t-a) vezes a diferença entre a nova peça e a peça anterior avaliada em t.
Usando essa ideia, uma expressão simples e direta é
f(t)=\sin t + u(t-\pi)\bigl(t^{2}-\sin t\bigr) + u(t-4)\bigl(2 - t^{2}\bigr).
Verificação rápida por intervalos:
Se t<\pi: u(t-\pi)=0 e u(t-4)=0, então f(t)=\sin t.
Se \pi\le t<4: u(t-\pi)=1, u(t-4)=0, então f(t)=\sin t + (t^{2}-\sin t)=t^{2}.
Se t\ge4: u(t-\pi)=1, u(t-4)=1, então f(t)=\sin t + (t^{2}-\sin t) + (2-t^{2})=2.
Portanto a expressão está correta.
Passo 4
Plano para calcular \mathcal{L}\{f(t)\} e propriedades usadas (justificando):
Vamos usar a linearidade da transformada: \mathcal{L}\{a(t)+b(t)\}=\mathcal{L}\{a(t)\}+\mathcal{L}\{b(t)\}. (Propriedade básica do operador integral linear.)
Usaremos fórmulas padrão da tabela:
\displaystyle \mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1}. Isto vem do cálculo integral da transformada de \sin t ou da tabela: \mathcal{L}\{\sin (a t)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}} com a=1.
\displaystyle \mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}. Em particular \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}} e \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}.
\displaystyle \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}, então \mathcal{L}\{2\}=\dfrac{2}{s}.
Usaremos o teorema do segundo deslocamento (time-shifting com função escada): se g(t) é tal que \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), então
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}=e^{-a s}G(s).
Isso significa que, para aplicar o deslocamento, as expressões multiplicadas por u(t-a) devem ser escritas como funções de (t-a). Assim vamos reescrever as peças u(t-\pi)(t^{2}-\sin t) e u(t-4)(2-t^{2}) em termos de (t-\pi) e (t-4) respectivamente, e depois aplicar o teorema.
Passo 5
Reescrevendo u(t-\pi)\bigl(t^{2}-\sin t\bigr) em função de \tau=t-\pi:
Coloque t=\tau+\pi. Então
t^{2}=(\tau+\pi)^{2}=\tau^{2}+2\pi\tau+\pi^{2}.
Para o seno, use a identidade \sin(\tau+\pi)=-\sin\tau. Como t=\tau+\pi, obtemos \sin t=\sin(\tau+\pi)=-\sin\tau.
Todas as etapas usaram apenas linearidade, as fórmulas padrão \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}, \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1} e o teorema do segundo deslocamento \mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-a s}G(s).
Resposta
O gráfico: ramo y=\sin t para 0\le t<\pi terminando em 0 à esquerda de \pi; salto para o ponto (\pi,\pi^{2}); ramo parabólico y=t^{2} para \pi\le t<4 aproximando-se de 16 à esquerda de 4; salto para o ponto (4,2); e segmento horizontal y=2 para t\ge4.
A expressão com escadas:
f(t)=\sin t + u(t-\pi)\bigl(t^{2}-\sin t\bigr) + u(t-4)\bigl(2 - t^{2}\bigr).