O volume V de um cone circular é dado por V=\frac{\pi}{24} d^{2} \sqrt{4 s^{2}-d^{2}} onde s é a altura inclinada e d o diâmetro da base.
Suponha que s tenha um valor constante de 10 cm , mas d varie. Determine a taxa de variação de V em relação a d quando d=16 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do volume de um cone circular
V=\frac{\pi}{24}\,d^{2}\sqrt{4s^{2}-d^{2}}
onde s é a altura inclinada e d o diâmetro da base. Diz que s é constante com valor s=10\\ \mathrm{cm} e que d varia. A pergunta é: determinar a taxa de variação de V em relação a d, ou seja calcular \dfrac{dV}{dd}, quando d=16\\ \mathrm{cm}.
Informações importantes fornecidas:
V=\frac{\pi}{24}\,d^{2}\sqrt{4s^{2}-d^{2}},\qquad s=10\\ \mathrm{cm},\qquad d\\ \text{variável},\qquad d=16\\ \mathrm{cm}.á

Passo 2

Antes de derivar, vamos relembrar as regras que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Regra do produto: se f(d)=g(d)\,h(d) então
f'(d)=g'(d)\,h(d)+g(d)\,h'(d).
Isto significa que, para derivar um produto, derivamos um fator e multiplicamos pelo outro, somando o termo em que derivamos o outro fator.
  • Derivada da raiz quadrada: se v(d)=\sqrt{u(d)}=(u(d))^{1/2} então, pela regra da cadeia,
v'(d)=\frac{u'(d)}{2\sqrt{u(d)}}.
Ou seja, derivamos a função interna u(d) e dividimos por 2 vezes a raiz.
Vou aplicar essas regras ao produto d^{2} vezes \sqrt{4s^{2}-d^{2}}. Tudo passo a passo.

Passo 3

Escrevemos uma constante para simplificar:
k=\frac{\pi}{24}.
Então
V(d)=k\;d^{2}\;\sqrt{4s^{2}-d^{2}}.
Definimos os dois fatores do produto: g(d)=d^{2} e h(d)=\sqrt{4s^{2}-d^{2}}.
Derivadas dos fatores:
g'(d)=\frac{d}{dd}\big(d^{2}\big)=2d.
Para h(d) usemos u(d)=4s^{2}-d^{2}. Então u'(d)=-2d e, pela regra da raiz,
h'(d)=\frac{u'(d)}{2\sqrt{u(d)}}=\frac{-2d}{2\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}=\frac{-d}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto a V(d)=k\,g(d)\,h(d) (lembrando que k é constante):
\frac{dV}{dd}=k\big(g'(d)h(d)+g(d)h'(d)\big).
Substituindo g,g',h,h' obtemos
\frac{dV}{dd}=k\left(2d\sqrt{4s^{2}-d^{2}}+d^{2}\cdot\left(\frac{-d}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}\right)\right).
Agora vamos simplificar essa expressão. Colocando tudo sobre o mesmo denominador \sqrt{4s^{2}-d^{2}}:
2d\sqrt{4s^{2}-d^{2}}=\frac{2d\big(4s^{2}-d^{2}\big)}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}
portanto
\frac{dV}{dd}=k\cdot\frac{2d\big(4s^{2}-d^{2}\big)-d^{3}}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}.
No numerador podemos fatorar d:
2d\big(4s^{2}-d^{2}\big)-d^{3}=d\big(2(4s^{2}-d^{2})-d^{2}\big)=d\big(8s^{2}-3d^{2}\big).
Assim a forma simplificada é
\frac{dV}{dd}=\frac{\pi}{24}\cdot\frac{d\big(8s^{2}-3d^{2}\big)}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}.
Isto é uma fórmula geral válida para qualquer s constante.

Passo 5

Agora avaliamo-la no caso s=10\\ \mathrm{cm} e d=16\\ \mathrm{cm}.
Primeiro calculemos o discriminante dentro da raiz:
4s^{2}-d^{2}=4\cdot 10^{2}-16^{2}=4\cdot 100-256=400-256=144.
Logo \sqrt{4s^{2}-d^{2}}=\sqrt{144}=12.
Calculemos 8s^{2}-3d^{2}:
8s^{2}-3d^{2}=8\cdot 100-3\cdot 256=800-768=32.
Agora o numerador d(8s^{2}-3d^{2}) é
16\cdot 32=512.
Substituindo na fórmula:
\frac{dV}{dd}\Big|_{d=16}=\frac{\pi}{24}\cdot\frac{512}{12}.
Simplificando a fração:
\frac{512}{24\cdot 12}=\frac{512}{288}.
Dividindo numerador e denominador por 16 obtemos
\frac{512}{288}=\frac{32}{18}=\frac{16}{9}.
Portanto
\frac{dV}{dd}\Big|_{d=16}=\frac{16\pi}{9}.
Unidade: como V está em \mathrm{cm}^{3} e d em \mathrm{cm}, a taxa tem unidade \mathrm{cm}^{2}. Um valor aproximado é \dfrac{16\pi}{9}\approx 5{,}585\\ \mathrm{cm}^{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{16\pi}{9}\\ \mathrm{cm}^{2}

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