Exercício 6. Seja y=f(x) uma função derivável em x_{0}=2 tal que f(2)=2. Calcule o valor de f^{\prime}(2), sabendo que:
(a) g(x):=(x+2) f(x) é tal que g^{\prime}(2)=5;
(b) h(x):=\frac{\sqrt{x}}{f(x)} é tal que h^{\prime}(2)=-6.

Passo 1

O enunciado dá uma função y=f(x) que é derivável em x_{0}=2 e informa que f(2)=2. Pede para calcular f^{\prime}(2) em duas situações diferentes:
(a) sabendo que g(x):=(x+2)\,f(x) e que g^{\prime}(2)=5;
(b) sabendo que h(x):=\dfrac{\sqrt{x}}{f(x)} e que h^{\prime}(2)=-6.
Informações relevantes listadas:
f(2)=2,\qquad f \text{ é derivável em }2.éá
Caso (a): g(x)=(x+2)f(x) e g'(2)=5.
Caso (b): h(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{f(x)} e h'(2)=-6.

Passo 2

Vamos resolver (a). Primeiro, lembro a regra que precisamos aplicar (aqui eu explico bem): quando você tem o produto de duas funções u(x) e v(x), a derivada é dada pela regra do produto:
(uv)' = u'v + uv'.
Nesta situação podemos identificar u(x)=x+2 e v(x)=f(x). Vou calcular u'(x) e usar a regra.

Passo 3

Calcule u'(x) e escreva g'(x) usando a regra do produto:
u(x)=x+2 \Rightarrow u'(x)=1.
Aplicando a regra do produto:
g'(x) = (x+2)f'(x) + 1\cdot f(x).
Agora avalio em x=2. Lembro que f(2)=2, então:
g'(2) = (2+2)f'(2) + f(2) = 4f'(2) + 2.

Passo 4

Usando a informação do enunciado g'(2)=5, igualo e resolvo para f'(2):
4f'(2) + 2 = 5.
Subtraindo 2 de ambos os lados:
4f'(2) = 3.
Dividindo por 4:
f'(2) = \dfrac{3}{4}.
Portanto, no item (a) encontramos f'(2)=\dfrac{3}{4}.

Passo 5

Agora resolvemos (b). Aqui temos uma divisão de funções; a regra direta é a do quociente. Vou lembrar essa regra e mostrá-la de forma clara: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - u v'}{v^{2}}.
No nosso caso escolha u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} e v(x)=f(x). Vou calcular u'(x), anotar v'(x)=f'(x) e aplicar a fórmula avaliando em x=2.

Passo 6

Calcule u(2), u'(2), v(2), v'(2):
u(x)=x^{1/2} \Rightarrow u'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Logo
u(2)=\sqrt{2},\qquad u'(2)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.
Também sabemos
v(2)=f(2)=2,\qquad v'(2)=f'(2)\\ (\text{é a incógnita que queremos}).éó

Passo 7

Aplique a regra do quociente e avalie em x=2:
h'(2)=\dfrac{u'(2)\,v(2) - u(2)\,v'(2)}{v(2)^{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\cdot 2 - \sqrt{2}\,f'(2)}{2^{2}}.
Simplifico o numerador passo a passo:
\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\cdot 2 = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Então
h'(2) = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2}\,f'(2)}{4}.

Passo 8

Faço uma simplificação útil: \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Substituindo,
h'(2) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}\,f'(2)}{4} = \dfrac{\sqrt{2}\!\left(\dfrac{1}{2} - f'(2)\right)}{4}.
Posso escrever de forma mais direta:
h'(2) = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(\dfrac{1}{2} - f'(2)\right).

Passo 9

Agora uso a informação do enunciado h'(2)=-6 e resolvo para f'(2):
\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(\dfrac{1}{2} - f'(2)\right) = -6.
Multiplico ambos os lados por 4/\sqrt{2}:
\dfrac{1}{2} - f'(2) = -6\cdot \dfrac{4}{\sqrt{2}} = -\dfrac{24}{\sqrt{2}}.
Racionalizo -\dfrac{24}{\sqrt{2}} = -24\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = -12\sqrt{2}. Então
\dfrac{1}{2} - f'(2) = -12\sqrt{2}.
Isolando f'(2):
f'(2) = \dfrac{1}{2} + 12\sqrt{2}.

Resposta

(a) \dfrac{3}{4}
(b) \dfrac{1}{2} + 12\sqrt{2}

Exercícios relacionados