Exercício 6. Seja
uma função derivável em
tal que
. Calcule o valor de
, sabendo que:
(a)
é tal que
;
(b)
é tal que
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá uma função
que é derivável em
e informa que
. Pede para calcular
em duas situações diferentes:
(a) sabendo que e que
;
(b) sabendo que e que
.
(a) sabendo que
(b) sabendo que
Informações relevantes listadas:
Caso (a):
e
.
Caso (b): e
.
Caso (b):
Passo 2
Vamos resolver (a). Primeiro, lembro a regra que precisamos aplicar (aqui eu explico bem): quando você tem o produto de duas funções
e
, a derivada é dada pela regra do produto:
Nesta situação podemos identificar
e
. Vou calcular
e usar a regra.
Passo 3
Calcule
e escreva
usando a regra do produto:
Aplicando a regra do produto:
Agora avalio em
. Lembro que
, então:
Passo 4
Usando a informação do enunciado
, igualo e resolvo para
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Portanto, no item (a) encontramos
.
Passo 5
Agora resolvemos (b). Aqui temos uma divisão de funções; a regra direta é a do quociente. Vou lembrar essa regra e mostrá-la de forma clara: se
e
são diferenciáveis e
, então
No nosso caso escolha
e
. Vou calcular
, anotar
e aplicar a fórmula avaliando em
.
Passo 6
Calcule
:
Logo
Também sabemos
Passo 7
Aplique a regra do quociente e avalie em
:
Simplifico o numerador passo a passo:
Então
Passo 8
Faço uma simplificação útil:
. Substituindo,
Posso escrever de forma mais direta:
Passo 9
Agora uso a informação do enunciado
e resolvo para
:
Multiplico ambos os lados por
:
Racionalizo
. Então
Isolando
:
Resposta
(a)
(b)
(b)