O volume V de um cone circular é dado por V=\frac{\pi}{24} d^{2} \sqrt{4 s^{2}-d^{2}} onde s é a altura inclinada e d o diâmetro da base.
Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a s se d permanecer constante.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do volume de um cone circular
V=\frac{\pi}{24} d^{2} \sqrt{4 s^{2}-d^{2}}
onde \,s é a altura inclinada e \,d é o diâmetro da base. A pergunta é: determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a s quando d permanece constante. Informações relevantes fornecidas:
  • Expressão de V em termos de s e d.
  • Condição: \,d é tratado como constante ao derivar em relação a \,s.

Passo 2

Primeiro vamos escrever V de uma forma que facilite a derivação, transformando a raiz em potência:
V(s)=\frac{\pi}{24}\,d^{2}\,(4s^{2}-d^{2})^{1/2}.
Aqui deixei claro que V é função de s e que \,d é constante.

Passo 3

Relembre as regras de derivação que vamos usar:
  • Regra do fator constante: se k é constante então \dfrac{d}{ds}\big(k\cdot f(s)\big)=k\cdot f'(s).
  • Regra da cadeia: se f(s)=g(h(s)) então f'(s)=g'(h(s))\cdot h'(s).
  • Derivada da potência: para u(s)^{n} com n constante, \dfrac{d}{ds}u(s)^{n}=n\,u(s)^{\,n-1}\,u'(s).
  • Aplicado ao caso da raiz: \dfrac{d}{ds}\sqrt{u(s)}=\dfrac{u'(s)}{2\sqrt{u(s)}}.
Vamos aplicar essas regras com u(s)=4s^{2}-d^{2}.

Passo 4

Calculemos a derivada passo a passo. Usando a regra do fator constante com k=\dfrac{\pi}{24}d^{2} e a regra da cadeia:
\frac{dV}{ds}=\frac{\pi}{24}d^{2}\cdot \frac{d}{ds}\big( (4s^{2}-d^{2})^{1/2}\big).
Agora aplicamos a fórmula da derivada da raiz:
\frac{d}{ds}\big( (4s^{2}-d^{2})^{1/2}\big)=\frac{1}{2}(4s^{2}-d^{2})^{-1/2}\cdot \frac{d}{ds}(4s^{2}-d^{2}).

Passo 5

Calculamos a derivada interna \dfrac{d}{ds}(4s^{2}-d^{2}). Como d é constante, \dfrac{d}{ds}(-d^{2})=0 e \dfrac{d}{ds}(4s^{2})=8s. Logo:
\frac{d}{ds}(4s^{2}-d^{2})=8s.
Substituindo na expressão do passo anterior:
\frac{d}{ds}\big( (4s^{2}-d^{2})^{1/2}\big)=\frac{1}{2}(4s^{2}-d^{2})^{-1/2}\cdot 8s=\frac{8s}{2\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}=\frac{4s}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}.

Passo 6

Agora voltamos para a expressão de \dfrac{dV}{ds} e substituímos o resultado:
\frac{dV}{ds}=\frac{\pi}{24}d^{2}\cdot \frac{4s}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}.

Passo 7

Simplificamos a constante \dfrac{\pi}{24}\cdot 4=\dfrac{\pi}{6}. Assim obtemos a forma final simplificada:
\frac{dV}{ds}=\frac{\pi}{6}\,\frac{d^{2}s}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}.
Observação didática: essa expressão só faz sentido quando o radicando é positivo, isto é, quando 4s^{2}-d^{2}>0 (geometricamente, s>\dfrac{d}{2}).

Resposta

\frac{dV}{ds}=\frac{\pi}{6}\,\frac{d^{2}s}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}

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