O volume
de um cone circular é dado por
onde
é a altura inclinada e
o diâmetro da base.
Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
se
permanecer constante.
Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do volume de um cone circular
onde
é a altura inclinada e
é o diâmetro da base. A pergunta é: determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
quando
permanece constante. Informações relevantes fornecidas:
- Expressão de
em termos de e . - Condição:
é tratado como constante ao derivar em relação a .
Passo 2
Primeiro vamos escrever
de uma forma que facilite a derivação, transformando a raiz em potência:
Aqui deixei claro que
é função de
e que
é constante.
Passo 3
Relembre as regras de derivação que vamos usar:
- Regra do fator constante: se
é constante então . - Regra da cadeia: se
então . - Derivada da potência: para
com constante, . - Aplicado ao caso da raiz:
.
Vamos aplicar essas regras com
.
Passo 4
Calculemos a derivada passo a passo. Usando a regra do fator constante com
e a regra da cadeia:
Agora aplicamos a fórmula da derivada da raiz:
Passo 5
Calculamos a derivada interna
. Como
é constante,
e
. Logo:
Substituindo na expressão do passo anterior:
Passo 6
Agora voltamos para a expressão de
e substituímos o resultado:
Passo 7
Simplificamos a constante
. Assim obtemos a forma final simplificada:
Observação didática: essa expressão só faz sentido quando o radicando é positivo, isto é, quando
(geometricamente,
).