O volume V de um cone circular reto é dado por
V=\frac{\pi}{24} d^{2} \sqrt{4 s^{2}-d^{2}}
onde s é a altura inclinada e d é o diâmetro da base.
Suponha que s tenha um valor constante de 10 cm , mas d varie. Determine a taxa de variação de V em relação a d quando d=16 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula do volume de um cone em função de d e s:
V=\frac{\pi}{24}d^{2}\sqrt{4s^{2}-d^{2}}.
Informações importantes que o problema fornece:
  • s é constante e vale s=10\\ \text{cm}.
  • d varia e queremos a taxa de variação de V em relação a d, ou seja, queremos calcular \dfrac{dV}{dd} quando d=16\\ \text{cm}.
    O pedido é: determinar \dfrac{dV}{dd} avaliado em d=16\\ \text{cm}.

Passo 2

O que significa calcular \dfrac{dV}{dd}? É a derivada do volume em relação ao diâmetro: informa quanto o volume muda (em \text{cm}^3) quando o diâmetro muda uma unidade (em \text{cm}). Como s é constante, trataremos s como uma constante durante a diferenciação.

Passo 3

Para diferenciar é útil escrever a raiz como potência. Reescrevendo V:
V=\frac{\pi}{24}\,d^{2}\bigl(4s^{2}-d^{2}\bigr)^{1/2}.
Aqui a função é o produto de duas funções de d: u(d)=d^{2} e v(d)=\bigl(4s^{2}-d^{2}\bigr)^{1/2}.

Passo 4

Lembrando as regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se f(d)=u(d)v(d) então f'(d)=u'(d)v(d)+u(d)v'(d).
  • Regra da cadeia (para a raiz): se v(d)=(g(d))^{1/2} então
v'(d)=\tfrac{1}{2} (g(d))^{-1/2}\cdot g'(d).
No nosso caso g(d)=4s^{2}-d^{2}, logo g'(d)=-2d.

Passo 5

Calculemos as derivadas parciais necessárias:
  • u(d)=d^{2} então u'(d)=2d.
  • v(d)=\bigl(4s^{2}-d^{2}\bigr)^{1/2}. Aplicando a cadeia,
v'(d)=\tfrac{1}{2}\bigl(4s^{2}-d^{2}\bigr)^{-1/2}\cdot(-2d) = -d\bigl(4s^{2}-d^{2}\bigr)^{-1/2}.
Agora aplicando a regra do produto para f(d)=d^{2}\bigl(4s^{2}-d^{2}\bigr)^{1/2}:
f'(d)=2d\bigl(4s^{2}-d^{2}\bigr)^{1/2} + d^{2}\left[-d\bigl(4s^{2}-d^{2}\bigr)^{-1/2}\right].
Colocando em denominador comum \bigl(4s^{2}-d^{2}\bigr)^{1/2}:
f'(d)=\frac{2d\bigl(4s^{2}-d^{2}\bigr) - d^{3}}{\bigl(4s^{2}-d^{2}\bigr)^{1/2}}.
Simplificando o numerador:
2d(4s^{2}-d^{2})-d^{3}=8ds^{2}-2d^{3}-d^{3}=d(8s^{2}-3d^{2}).
Assim
f'(d)=\frac{d\bigl(8s^{2}-3d^{2}\bigr)}{\bigl(4s^{2}-d^{2}\bigr)^{1/2}}.

Passo 6

Voltando ao volume, lembrando do fator constante \dfrac{\pi}{24}, obtemos a derivada geral:
\frac{dV}{dd}=\frac{\pi}{24}\cdot f'(d) =\frac{\pi}{24}\cdot\frac{d\bigl(8s^{2}-3d^{2}\bigr)}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}.
Essa é a expressão fechada da taxa de variação de V em função de d e s.

Passo 7

Agora substituímos s=10\\ \text{cm} e d=16\\ \text{cm}.
Calculemos as partes passo a passo:
4s^{2}-d^{2}=4\cdot 10^{2}-16^{2}=400-256=144, \qquad \sqrt{4s^{2}-d^{2}}=\sqrt{144}=12.
E
8s^{2}-3d^{2}=8\cdot 10^{2}-3\cdot 16^{2}=800-768=32.
Substituindo na expressão de \dfrac{dV}{dd}:
\frac{dV}{dd}=\frac{\pi}{24}\cdot\frac{d\,(8s^{2}-3d^{2})}{\sqrt{4s^{2}-d^{2}}} =\frac{\pi}{24}\cdot\frac{16\cdot 32}{12} =\frac{512\pi}{288}\\ \text{(unidade: }\text{cm}^2\text{)}.

Resposta

\dfrac{16\pi}{9}\\ \text{cm}^2 \approx 5{,}585\\ \text{cm}^2

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