O volume
de um cone circular reto é dado por
onde
é a altura inclinada e
é o diâmetro da base.
Suponha que
tenha um valor constante de 10 cm , mas
varie. Determine a taxa de variação de
em relação a
quando
.
Suponha que
Passo 1
O enunciado nos dá a fórmula do volume de um cone em função de
e
:
Informações importantes que o problema fornece:
-
é constante e vale . -
varia e queremos a taxa de variação de em relação a , ou seja, queremos calcular quando .
O pedido é: determinaravaliado em .
Passo 2
O que significa calcular
? É a derivada do volume em relação ao diâmetro: informa quanto o volume muda (em
) quando o diâmetro muda uma unidade (em
). Como
é constante, trataremos
como uma constante durante a diferenciação.
Passo 3
Para diferenciar é útil escrever a raiz como potência. Reescrevendo
:
Aqui a função é o produto de duas funções de
:
e
.
Passo 4
Lembrando as regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia (para a raiz): se
então
No nosso caso
, logo
.
Passo 5
Calculemos as derivadas parciais necessárias:
-
então . -
. Aplicando a cadeia,
Agora aplicando a regra do produto para
:
Colocando em denominador comum
:
Simplificando o numerador:
Assim
Passo 6
Voltando ao volume, lembrando do fator constante
, obtemos a derivada geral:
Essa é a expressão fechada da taxa de variação de
em função de
e
.
Passo 7
Agora substituímos
e
.
Calculemos as partes passo a passo:
Calculemos as partes passo a passo:
E
Substituindo na expressão de
: