O volume V de um cone circular reto é dado por
V=\frac{\pi}{24} d^{2} \sqrt{4 s^{2}-d^{2}}
onde s é a altura inclinada e d é o diâmetro da base.
Suponha que d tenha um valor constante de 16 cm , mas s varie. Determine a taxa de variação de V em relação a s quando s=10 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado fornece a fórmula do volume V de um cone em função da altura inclinada s e do diâmetro da base d:
V=\frac{\pi}{24}d^{2}\sqrt{4s^{2}-d^{2}}.
Dados extraídos do enunciado:
  • d é constante e vale d=16\\ \text{cm}.
  • s varia e queremos a taxa de variação de V em relação a s quando s=10\\ \text{cm}.
O que o problema pede:
  • Calcular \dfrac{dV}{ds} avaliado em s=10\\ \text{cm} com d=16\\ \text{cm}.

Passo 2

Plano de ataque e revisão de cálculo (fórmulas que usarei).
  • Quando temos uma função composta do tipo V(s)=C\cdot \sqrt{u(s)}, com C constante, a regra da cadeia diz que
\frac{dV}{ds}=C\cdot\frac{1}{2\sqrt{u(s)}}\cdot u'(s).
Isto vem da derivada da raiz quadrada: se y=\sqrt{u} então y'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.
  • Na nossa expressão u(s)=4s^{2}-d^{2}. Como d é constante, u'(s)=8s.
  • Também usarei que constantes multiplicativas saem da derivada.
Agora aplico isso diretamente à expressão dada. Escrevendo C=\dfrac{\pi}{24}d^{2} e u(s)=4s^{2}-d^{2}, temos
\frac{dV}{ds}=\frac{\pi}{24}d^{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}\cdot(8s).

Passo 3

Simplificação algébrica da derivada.
  • Multiplicando os fatores que aparecem:
\frac{dV}{ds}=\frac{\pi d^{2}}{24}\cdot\frac{8s}{2\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}.
  • Note que \dfrac{8s}{2}=4s, então
\frac{dV}{ds}=\frac{\pi d^{2}\cdot 4s}{24\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}.
  • Simplificando \dfrac{4}{24}=\dfrac{1}{6}, obtemos a forma mais compacta
\frac{dV}{ds}=\frac{\pi d^{2} s}{6\sqrt{4s^{2}-d^{2}}}.

Passo 4

Substituição dos valores numéricos d=16\\ \text{cm} e s=10\\ \text{cm}.
  • Calcular d^{2}: d^{2}=16^{2}=256.
  • Calcular o radicando: 4s^{2}-d^{2}=4\cdot 10^{2}-256=400-256=144.
  • A raiz: \sqrt{144}=12.
Agora substituindo na fórmula:
\left.\frac{dV}{ds}\right|_{d=16,\\ s=10}=\frac{\pi\cdot 256\cdot 10}{6\cdot 12}.

Passo 5

Cálculo final e simplificação numérica.
  • Numerador: 256\cdot 10=2560, então temos \dfrac{2560\pi}{72} porque 6\cdot 12=72.
  • Simplificando a fração \dfrac{2560}{72}: dividindo numerador e denominador por 8 \dfrac{320}{9}.
  • Portanto
\left.\frac{dV}{ds}\right|_{d=16,\\ s=10}=\frac{320\pi}{9}.
Unidade: V está em \text{cm}^{3} e s em \text{cm}, logo \dfrac{dV}{ds} tem unidade \text{cm}^{3}/\text{cm}=\text{cm}^{2}.

Resposta

\dfrac{320\pi}{9}\\ \text{cm}^{2}

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