O volume V de um cone circular reto é dado por
V=\frac{\pi}{24} d^{2} \sqrt{4 s^{2}-d^{2}}
onde s é a altura inclinada e d é o diâmetro da base.
Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a d se s permanecer constante.

Passo 1

O enunciado fornece a fórmula do volume V de um cone circular reto em função do diâmetro da base d e da altura inclinada s:
V=\frac{\pi}{24} d^{2} \sqrt{4 s^{2}-d^{2}}.
Pergunta: determinar a taxa de variação instantânea de V em relação a d quando s é mantido constante, ou seja, calcular \dfrac{dV}{dd} tratando s como constante.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão para V em termos de d e s é \displaystyle V=\frac{\pi}{24} d^{2} \sqrt{4 s^{2}-d^{2}}.
  • s permanece constante durante a diferenciação.
  • Deve-se usar regras de diferenciação em relação à variável d.

Passo 2

Organizar a expressão de V numa forma que facilite a diferenciação. Escrever a raiz como potência:
V=\frac{\pi}{24}\, d^{2}\,(4 s^{2}-d^{2})^{1/2}.
Para simplificar a notação durante os cálculos, definir a constante
k=\frac{\pi}{24},
assim
V = k\, d^{2}\,(4 s^{2}-d^{2})^{1/2}.
Lembrando: s é constante, então ao derivar em relação a d qualquer parcela contendo s apenas se trata como constante.

Passo 3

Relembrar as regras de diferenciação que serão usadas (com explicações simples):
  • Regra do produto: se \displaystyle h(d)=u(d)\,v(d), então
h'(d)=u'(d)\,v(d)+u(d)\,v'(d).
Isto diz que a derivada do produto é a soma do produto da derivada de um pelo outro não derivado, e vice‑versa.
  • Regra da cadeia (para potência): se \displaystyle v(d) = [w(d)]^{\alpha}, então
v'(d)=\alpha\,[w(d)]^{\alpha-1}\,w'(d).
No caso da raiz quadrada, \alpha=\tfrac{1}{2}, então a derivada de (4s^{2}-d^{2})^{1/2} é \tfrac{1}{2}(4s^{2}-d^{2})^{-1/2} vezes a derivada interna (4s^{2}-d^{2})'.

Passo 4

Aplicar as regras ao produto d^{2} vezes (4 s^{2}-d^{2})^{1/2}.
Calcular as derivadas parciais necessárias:
  • Derivada de d^{2} em relação a d:
\frac{d}{dd}\big(d^{2}\big)=2d.
  • Derivada de (4 s^{2}-d^{2})^{1/2} em relação a d (usar regra da cadeia; s é constante):
\frac{d}{dd}\big((4 s^{2}-d^{2})^{1/2}\big) = \tfrac{1}{2}(4 s^{2}-d^{2})^{-1/2}\cdot\frac{d}{dd}(4 s^{2}-d^{2}).
Como \dfrac{d}{dd}(4 s^{2}-d^{2}) = -2d, obtemos
\frac{d}{dd}\big((4 s^{2}-d^{2})^{1/2}\big) = \tfrac{1}{2}(4 s^{2}-d^{2})^{-1/2}\cdot(-2d) = -d\,(4 s^{2}-d^{2})^{-1/2}.

Passo 5

Usar a regra do produto com u(d)=d^{2} e v(d)=(4 s^{2}-d^{2})^{1/2}. Assim
\frac{dV}{dd} = k\big( u'(d)\,v(d) + u(d)\,v'(d)\big).
Substituindo u'(d)=2d e v'(d)=-d(4 s^{2}-d^{2})^{-1/2},
\frac{dV}{dd} = k\Big(2d\,(4 s^{2}-d^{2})^{1/2} + d^{2}\big(-d\,(4 s^{2}-d^{2})^{-1/2}\big)\Big).
Simplificando o sinal no segundo termo,
\frac{dV}{dd} = k\Big(2d\,(4 s^{2}-d^{2})^{1/2} - d^{3}\,(4 s^{2}-d^{2})^{-1/2}\Big).

Passo 6

Fazer simplificação algébrica para deixar a expressão mais compacta. Colocar um fator comum (4 s^{2}-d^{2})^{-1/2}:
2d\,(4 s^{2}-d^{2})^{1/2} = 2d\,(4 s^{2}-d^{2})\,(4 s^{2}-d^{2})^{-1/2}.
Portanto
\frac{dV}{dd} = k\,(4 s^{2}-d^{2})^{-1/2}\Big(2d(4 s^{2}-d^{2}) - d^{3}\Big).
Calcular o que está entre parênteses:
2d(4 s^{2}-d^{2}) - d^{3} = 8d s^{2} -2d^{3} - d^{3} = 8d s^{2} - 3d^{3}.
Substituindo,
\frac{dV}{dd} = k\,(4 s^{2}-d^{2})^{-1/2}\big(8d s^{2} - 3d^{3}\big).
Fatorando d,
\frac{dV}{dd} = k\,d\,(4 s^{2}-d^{2})^{-1/2}\big(8 s^{2} - 3d^{2}\big).

Passo 7

Voltar a k=\dfrac{\pi}{24} e escrever a forma final simplificada. Substituindo k obtém-se
\frac{dV}{dd} = \frac{\pi}{24}\,d\,(4 s^{2}-d^{2})^{-1/2}\,(8 s^{2} - 3d^{2}).
Colocando a raiz no denominador:
\frac{dV}{dd} = \frac{\pi d(8 s^{2}-3 d^{2})}{24\sqrt{4 s^{2}-d^{2}}}.
Uma forma alternativa, ainda mais simplificada numericamente, é observar que \dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3} e \dfrac{3}{24}=\dfrac{1}{8}, levando a
\frac{dV}{dd} = \frac{\pi d}{\sqrt{4 s^{2}-d^{2}}}\!\left(\frac{s^{2}}{3}-\frac{d^{2}}{8}\right).
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é direta da simplificação algébrica.

Resposta

\frac{dV}{dd}=\frac{\pi d(8 s^{2}-3 d^{2})}{24\sqrt{4 s^{2}-d^{2}}}.

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