O volume
de um cone circular reto é dado por
onde
é a altura inclinada e
é o diâmetro da base.
Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
se
permanecer constante.
Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
Passo 1
O enunciado fornece a fórmula do volume
de um cone circular reto em função do diâmetro da base
e da altura inclinada
:
Pergunta: determinar a taxa de variação instantânea de
em relação a
quando
é mantido constante, ou seja, calcular
tratando
como constante.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão para
em termos de e é . -
permanece constante durante a diferenciação. - Deve-se usar regras de diferenciação em relação à variável
.
Passo 2
Organizar a expressão de
numa forma que facilite a diferenciação. Escrever a raiz como potência:
Para simplificar a notação durante os cálculos, definir a constante
assim
Lembrando:
é constante, então ao derivar em relação a
qualquer parcela contendo
apenas se trata como constante.
Passo 3
Relembrar as regras de diferenciação que serão usadas (com explicações simples):
- Regra do produto: se
, então
Isto diz que a derivada do produto é a soma do produto da derivada de um pelo outro não derivado, e vice‑versa.
- Regra da cadeia (para potência): se
, então
No caso da raiz quadrada,
, então a derivada de
é
vezes a derivada interna
.
Passo 4
Aplicar as regras ao produto
vezes
.
Calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a (usar regra da cadeia; é constante):
Como
, obtemos
Passo 5
Usar a regra do produto com
e
. Assim
Substituindo
e
,
Simplificando o sinal no segundo termo,
Passo 6
Fazer simplificação algébrica para deixar a expressão mais compacta. Colocar um fator comum
:
Portanto
Calcular o que está entre parênteses:
Substituindo,
Fatorando
,
Passo 7
Voltar a
e escrever a forma final simplificada. Substituindo
obtém-se
Colocando a raiz no denominador:
Uma forma alternativa, ainda mais simplificada numericamente, é observar que
e
, levando a
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é direta da simplificação algébrica.