Um volume esférico de 2 \mu \mathrm{~m} de raio contém uma densidade volumétrica uniforme de carga de 10^{-15} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. (a) Qual a carga total confinada dentro do volume esférico? (b) Considere agora que uma grande região contenha uma dessas pequenas esferas em cada quina de uma grelha cúbica de 3 cm de lado e que não há nenhuma carga entre as esferas. Qual é a densidade volumétrica de carga média através desta região?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • raio da pequena esfera: r = 2\\ \mu\mathrm{m} = 2\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
    • densidade volumétrica de carga dentro da pequena esfera (uniforme): \rho = 10^{-15}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.
    • para a parte (b): existe uma grelha cúbica de lado a = 3\\ \mathrm{cm} = 0,03\\ \mathrm{m} com uma dessas pequenas esferas em cada quina (canto) e nenhuma carga entre as esferas.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) A carga total confinada dentro de uma pequena esfera.
    • (b) A densidade volumétrica de carga média através da região composta pela grelha cúbica (ou seja, carga total por volume da célula cúbica típica).

Passo 2

Fórmulas e ideias que vou usar (explicação didática):
  • Para uma distribuição de carga volumétrica uniforme, a carga total Q contida numa região de volume V é
Q = \rho\,V,
onde \rho é a densidade volumétrica de carga (em \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}) e V é o volume (em \mathrm{m}^{3}).
  • O volume de uma esfera de raio r é
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Aqui r é o raio em metros, \pi é a constante 3,1415…
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Cálculo do volume da pequena esfera (mostrando todas as etapas):
  • Primeiro calcule r^{3}:
r^{3} = \bigl(2\times10^{-6}\bigr)^{3} = 8\times10^{-18}\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Agora use a fórmula do volume da esfera:
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi\bigl(8\times10^{-18}\bigr)=\frac{32\pi}{3}\times10^{-18}\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Se quiser um valor numérico, calcula-se
V_{\text{esfera}}\approx 3,351032\times10^{-17}\\ \mathrm{m}^{3}.
(foi usado \pi\approx3,14159265; isto é só um arredondamento do volume.)

Passo 4

Cálculo da carga total dentro da pequena esfera (parte a), usando Q=\rho V:
  • Substituindo \rho e V_{\text{esfera}} na fórmula,
Q=\rho\,V_{\text{esfera}}=10^{-15}\times\frac{32\pi}{3}\times10^{-18}=\frac{32\pi}{3}\times10^{-33}\\ \mathrm{C}.
  • Valor numérico aproximado:
Q\approx 3,35103\times10^{-32}\\ \mathrm{C}.
Arredondando com dois algarismos significativos (consistente com os dados), fica
Q\approx 3,35\times10^{-32}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Explicação detalhada do arranjo cúbico e como obter a densidade média (parte b):
  • Cada célula cúbica de lado a tem 8 quinas (cantos). Numa rede infinita de pontos em vértices de cubos, a esfera colocada num vértice é compartilhada por 8 cubos que se encontram nesse vértice (cada cubo “leva” uma oitava daquela esfera). Logo, a contribuição total de cargas atribuída a uma célula cúbica é
Q_{\text{por cubo}} = 8\times\left(\frac{1}{8}Q\right)=Q.
Em palavras: uma célula cúbica efetivamente contém, em média, a carga de exatamente uma esfera (porque as 8 esferas nos 8 cantos somam uma esfera inteira quando cada uma é dividida por 8).
  • O volume da célula cúbica é
V_{\text{cubo}}=a^{3}=(0,03)^{3}=2,7\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}.
  • A densidade volumétrica média de carga (carga total atribuída à célula dividida pelo volume da célula) é
\rho_{\text{média}}=\frac{Q_{\text{por cubo}}}{V_{\text{cubo}}}=\frac{Q}{a^{3}}.é

Passo 6

Cálculo numérico da densidade média usando o Q calculado:
  • Substituindo valores,
\rho_{\text{média}}=\frac{3,35103\times10^{-32}}{2,7\times10^{-5}}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.é
  • Fazendo a divisão:
\rho_{\text{média}}\approx 1,24113\times10^{-27}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.é
Arredondando com dois algarismos significativos:
\rho_{\text{média}}\approx 1,24\times10^{-27}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.é

Resposta

(a) Q\approx 3,35\times10^{-32}\\ \mathrm{C}
(b) \rho_{\text{média}}\approx 1,24\times10^{-27}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}é

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