Um volume esférico de
de raio contém uma densidade volumétrica uniforme de carga de
. (a) Qual a carga total confinada dentro do volume esférico? (b) Considere agora que uma grande região contenha uma dessas pequenas esferas em cada quina de uma grelha cúbica de 3 cm de lado e que não há nenhuma carga entre as esferas. Qual é a densidade volumétrica de carga média através desta região?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- raio da pequena esfera:
. - densidade volumétrica de carga dentro da pequena esfera (uniforme):
. - para a parte (b): existe uma grelha cúbica de lado
com uma dessas pequenas esferas em cada quina (canto) e nenhuma carga entre as esferas.
- raio da pequena esfera:
-
O que o enunciado pede:
- (a) A carga total confinada dentro de uma pequena esfera.
- (b) A densidade volumétrica de carga média através da região composta pela grelha cúbica (ou seja, carga total por volume da célula cúbica típica).
Passo 2
Fórmulas e ideias que vou usar (explicação didática):
- Para uma distribuição de carga volumétrica uniforme, a carga total
contida numa região de volume é
onde
é a densidade volumétrica de carga (em
) e
é o volume (em
).
- O volume de uma esfera de raio
é
Aqui
é o raio em metros,
é a constante 3,1415…
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Cálculo do volume da pequena esfera (mostrando todas as etapas):
- Primeiro calcule
:
- Agora use a fórmula do volume da esfera:
- Se quiser um valor numérico, calcula-se
(foi usado
; isto é só um arredondamento do volume.)
Passo 4
Cálculo da carga total dentro da pequena esfera (parte a), usando
:
- Substituindo
e na fórmula,
- Valor numérico aproximado:
Arredondando com dois algarismos significativos (consistente com os dados), fica
Passo 5
Explicação detalhada do arranjo cúbico e como obter a densidade média (parte b):
- Cada célula cúbica de lado
tem 8 quinas (cantos). Numa rede infinita de pontos em vértices de cubos, a esfera colocada num vértice é compartilhada por 8 cubos que se encontram nesse vértice (cada cubo “leva” uma oitava daquela esfera). Logo, a contribuição total de cargas atribuída a uma célula cúbica é
Em palavras: uma célula cúbica efetivamente contém, em média, a carga de exatamente uma esfera (porque as 8 esferas nos 8 cantos somam uma esfera inteira quando cada uma é dividida por 8).
- O volume da célula cúbica é
- A densidade volumétrica média de carga (carga total atribuída à célula dividida pelo volume da célula) é
Passo 6
Cálculo numérico da densidade média usando o
calculado:
- Substituindo valores,
- Fazendo a divisão:
Arredondando com dois algarismos significativos:
Resposta
(a)
(b)
(b)