Sabe-se que dois pontos A e B estão separados em 10 unidades. Um vetor da origem ao ponto A é dado por 6 \mathbf{a}_{x}-2 \mathbf{a}_{y}-4 \mathbf{a}_{z}, e o vetor unitário da origem ao ponto B é (2,-2,1) / 3. Ache:
(c) um vetor unitário dirigido da origem até o ponto médio da linha AB .
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dá a distância entre os pontos A e B: |\overrightarrow{AB}|=10.
Dá o vetor posição de A (vetor da origem ao ponto A):
Dá o vetor unitário na direção de B (ou seja, a direção de \overrightarrow{OB}):
\widehat{u}_{OB}=\frac{(2,-2,1)}{3}.
Observação importante: isso não é forçosamente \overrightarrow{OB} — é apenas a direção unitária de \overrightarrow{OB}. O comprimento de \overrightarrow{OB} é desconhecido e será determinado usando |\overrightarrow{AB}|=10.
O que se pede (apenas a parte (c) do enunciado): um vetor unitário dirigido da origem até o ponto médio da reta AB. Em outras palavras, encontrar o vetor unitário \widehat{u}_M onde \overrightarrow{OM} é o vetor posição do ponto médio M de A e B.
Passo 2
Plano para resolver (resumido, sem entrar em detalhes técnicos ainda):
Escrever \overrightarrow{OB}=r\,\widehat{u}_{OB} com r=|\overrightarrow{OB}| desconhecido.
Impor a condição |\overrightarrow{AB}|=10, isto é |\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|=10, e resolver para r.
(Explicação rápida do passo: expandiu-se 3+\frac{r}{3}=(9+r)/3=(13+2s)/3, etc.)
Passo 6
Calcular o módulo de \overrightarrow{OM} para normalizar. Primeiro escrever o módulo ao quadrado em função de r e simplificar usando a relação quadrática encontrada antes \,r^{2}=8r+44.
Uma forma algébrica conveniente é escrever