Sabe-se que dois pontos A e B estão separados em 10 unidades. Um vetor da origem ao ponto A é dado por 6 \mathbf{a}_{x}-2 \mathbf{a}_{y}-4 \mathbf{a}_{z}, e o vetor unitário da origem ao ponto B é (2,-2,1) / 3. Ache:
(c) um vetor unitário dirigido da origem até o ponto médio da linha AB .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a distância entre os pontos A e B: |\overrightarrow{AB}|=10.
  • Dá o vetor posição de A (vetor da origem ao ponto A):
\overrightarrow{OA}=6\,\mathbf{a}_x-2\,\mathbf{a}_y-4\,\mathbf{a}_z.
  • Dá o vetor unitário na direção de B (ou seja, a direção de \overrightarrow{OB}):
\widehat{u}_{OB}=\frac{(2,-2,1)}{3}.
Observação importante: isso não é forçosamente \overrightarrow{OB} — é apenas a direção unitária de \overrightarrow{OB}. O comprimento de \overrightarrow{OB} é desconhecido e será determinado usando |\overrightarrow{AB}|=10.
  • O que se pede (apenas a parte (c) do enunciado): um vetor unitário dirigido da origem até o ponto médio da reta AB. Em outras palavras, encontrar o vetor unitário \widehat{u}_M onde \overrightarrow{OM} é o vetor posição do ponto médio M de A e B.

Passo 2

Plano para resolver (resumido, sem entrar em detalhes técnicos ainda):
  • Escrever \overrightarrow{OB}=r\,\widehat{u}_{OB} com r=|\overrightarrow{OB}| desconhecido.
  • Impor a condição |\overrightarrow{AB}|=10, isto é |\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|=10, e resolver para r.
  • Calcular o vetor posição do ponto médio:
\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}.
  • Normalizar \overrightarrow{OM} para obter o vetor unitário pedido:
\widehat{u}_M=\frac{\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OM}|}.

Passo 3

Colocar as expressões explícitas em coordenadas. Primeiro introduzir r e escrever \overrightarrow{OB}:
\overrightarrow{OB}=r\widehat{u}_{OB}=r\frac{(2,-2,1)}{3}=\Big(\frac{2r}{3},-\frac{2r}{3},\frac{r}{3}\Big).
Então o vetor \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} é
\overrightarrow{AB}=\Big(\frac{2r}{3}-6,\;-\frac{2r}{3}+2,\;\frac{r}{3}+4\Big).

Passo 4

Impor a condição do enunciado |\overrightarrow{AB}|=10. Logo:
\Big(\frac{2r}{3}-6\Big)^{2}+\Big(-\frac{2r}{3}+2\Big)^{2}+\Big(\frac{r}{3}+4\Big)^{2}=100.
Para simplificar, multiplica-se ambos os lados por 9:
(2r-18)^{2}+(-2r+6)^{2}+(r+12)^{2}=900.
Agora expandir e somar os termos:
4r^{2}-72r+324 \;+\;4r^{2}-24r+36 \;+\;r^{2}+24r+144 =900.
Somando coeficientes obtemos:
9r^{2}-72r+504=900.
Isolando tudo em um lado:
9r^{2}-72r-396=0.
Dividindo por 9:
r^{2}-8r-44=0.
Resolver a quadrática:
r=\frac{8\pm\sqrt{64+176}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{240}}{2}=\frac{8\pm4\sqrt{15}}{2}=4\pm2\sqrt{15}.
Como r=|\overrightarrow{OB}| deve ser positivo, escolhemos
r=4+2\sqrt{15}.

Passo 5

Calcular o vetor posição do ponto médio M:
\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2} =\frac{1}{2}\Big(6+\frac{2r}{3},\;-2-\frac{2r}{3},\;-4+\frac{r}{3}\Big).
Simplificando cada componente:
\overrightarrow{OM}=\Big(3+\frac{r}{3},\;-1-\frac{r}{3},\;-2+\frac{r}{6}\Big).
Substituindo r=4+2\sqrt{15} e para deixar mais compacto, usar s=\sqrt{15}. Então r=4+2s e
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\big(13+2s,\;-7-2s,\;-4+s\big).
(Explicação rápida do passo: expandiu-se 3+\frac{r}{3}=(9+r)/3=(13+2s)/3, etc.)

Passo 6

Calcular o módulo de \overrightarrow{OM} para normalizar. Primeiro escrever o módulo ao quadrado em função de r e simplificar usando a relação quadrática encontrada antes \,r^{2}=8r+44.
Uma forma algébrica conveniente é escrever
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{6}\big(18+2r,\;-6-2r,\;-12+r\big)
e calcular
|\overrightarrow{OM}|^{2}=\frac{1}{36}\Big[(18+2r)^{2}+(-6-2r)^{2}+(-12+r)^{2}\Big].
Compute-se a soma interior:
(18+2r)^{2}+(-6-2r)^{2}+(-12+r)^{2}=9r^{2}+72r+504.
Portanto
|\overrightarrow{OM}|^{2}=\frac{1}{36}\big(9r^{2}+72r+504\big)=\frac{1}{4}\big(r^{2}+8r+56\big).
Usando r^{2}=8r+44 obtém-se
r^{2}+8r+56=(8r+44)+8r+56=16r+100=4(4r+25).
Logo
|\overrightarrow{OM}|^{2}=\frac{1}{4}\cdot4(4r+25)=4r+25,
e portanto
|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{4r+25}.
Substituindo r=4+2\sqrt{15}
|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{41+8\sqrt{15}}.

Passo 7

Finalmente, o vetor unitário dirigido da origem até o ponto médio M é
\widehat{u}_M=\frac{\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OM}|}.
Substituindo as expressões obtidas (em termos de s=\sqrt{15}):
\widehat{u}_M=\frac{\dfrac{1}{3}\big(13+2s,\;-7-2s,\;-4+s\big)}{\sqrt{41+8s}} =\frac{1}{3\sqrt{41+8\sqrt{15}}}\big(13+2\sqrt{15},\;-7-2\sqrt{15},\;-4+\sqrt{15}\big).
(check numérico: usando \sqrt{15}\approx3,87298 obtém-se aproximadamente (0,815, -0,579, -0,005) com módulo 1, conferindo que está normalizado.)

Resposta

\widehat{u}_M=\frac{1}{3\sqrt{41+8\sqrt{15}}}\big(13+2\sqrt{15},\;-7-2\sqrt{15},\;-4+\sqrt{15}\big)

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