Calcule \oint_{S} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S} para os seguintes casos:
(a) \quad \mathbf{A}=x y \mathbf{a}_{x}+y z \mathbf{a}_{y}+x z \mathbf{a}_{z} e S é a superfície de um cubo definido por 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1;

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o fluxo de \mathbf{A} através da superfície fechada S do cubo 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le1. Em outras palavras, encontrar \displaystyle \oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}.
Informações fornecidas:
  • Campo vetorial \mathbf{A} com componentes: \mathbf{A}=x y\,\mathbf{a}_x + y z\,\mathbf{a}_y + x z\,\mathbf{a}_z.
  • Superfície S é a casca (fronteira) do cubo unitário definido por 0\le x,y,z\le1.
  • É solicitado o integral de superfície fechada (fluxo total) de \mathbf{A} através de S.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática do porquê):
  • Para calcular o fluxo total através de uma superfície fechada costuma-se usar o Teorema da Divergência quando a superfície é a fronteira de um volume simples (como um cubo). Ele transforma o cálculo de uma integral de superfície fechada em uma integral triple sobre o volume, que normalmente é mais fácil de avaliar.
  • O Teorema da Divergência afirma o seguinte: \iint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} \;=\; \iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\, dV,onde V é o volume limitado por S e \nabla\cdot\mathbf{A} é a divergência de \mathbf{A}.
  • O que é divergência? É uma medida de quanto o campo “sai” de cada ponto. Em coordenadas cartesianas, para \mathbf{A}=A_x\,\mathbf{a}_x + A_y\,\mathbf{a}_y + A_z\,\mathbf{a}_z, \nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}.
  • Vou aplicar esse teorema porque o volume é o cubo unitário (limites simples de 0 a 1 em cada variável), o que torna a integral tripla direta de calcular.

Passo 3

Calcular a divergência de \mathbf{A}:
  • Temos A_x = x y, A_y = y z e A_z = x z.
  • Então, usando a definição, \nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{\partial}{\partial x}(x y) + \frac{\partial}{\partial y}(y z) + \frac{\partial}{\partial z}(x z).
  • Computando cada derivada parcial (tratando as outras variáveis como constantes): \frac{\partial}{\partial x}(x y) = y,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(y z) = z,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(x z) = x.
  • Portanto \nabla\cdot\mathbf{A}=x+y+z.

Passo 4

Montar a integral tripla para o fluxo usando o Teorema da Divergência:
  • Pela fórmula do passo anterior, \iint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} \;=\; \iiint_{V} (x+y+z)\, dV,onde V é o cubo unitário com 0\le x,y,z\le1.
  • Em coordenadas cartesianas a integral fica \iiint_{V} (x+y+z)\, dV = \int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1} (x+y+z)\, dx\,dy\,dz.

Passo 5

Avaliar a integral passo a passo (para poder fazer sem calculadora e entender cada etapa):
  • Primeiro integrar em x: \int_{0}^{1} (x+y+z)\, dx = \left[\frac{x^{2}}{2} + x(y+z)\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + (y+z).
  • Agora integrar em y: \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{2} + y + z\right)\, dy = \left[\frac{y}{2} + \frac{y^{2}}{2} + z y\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + z = 1 + z.
  • Finalmente integrar em z: \int_{0}^{1} (1+z)\, dz = \left[z + \frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
  • Alternativa curta (verificação mental): como \iiint x\,dV=\iiint y\,dV=\iiint z\,dV pelo simetria do cubo e cada uma vale \dfrac{1}{2}, a soma é \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.

Passo 6

Interpretação final e motivação:
  • O fluxo total de \mathbf{A} através da superfície do cubo é \dfrac{3}{2}.
  • Comentário amigo: deu trabalho só de olhar, né? Mas usar o Teorema da Divergência costuma simplificar muito esses problemas com superfícies fechadas — em vez de somar fluxos em seis faces diferentes, passa-se para uma só integral no volume. Boa! Vai dar tempo de revisar mais uns exercícios desses.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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