Calcule
para os seguintes casos:
(a)
e
é a superfície de um cubo definido por
;
(a)
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o fluxo de
através da superfície fechada do cubo . Em outras palavras, encontrar .
Informações fornecidas:
- Campo vetorial
com componentes: - Superfície
é a casca (fronteira) do cubo unitário definido por . - É solicitado o integral de superfície fechada (fluxo total) de
através de .
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática do porquê):
- Para calcular o fluxo total através de uma superfície fechada costuma-se usar o Teorema da Divergência quando a superfície é a fronteira de um volume simples (como um cubo). Ele transforma o cálculo de uma integral de superfície fechada em uma integral triple sobre o volume, que normalmente é mais fácil de avaliar.
- O Teorema da Divergência afirma o seguinte:
onde é o volume limitado por e é a divergência de . - O que é divergência? É uma medida de quanto o campo “sai” de cada ponto. Em coordenadas cartesianas, para
, - Vou aplicar esse teorema porque o volume é o cubo unitário (limites simples de
a em cada variável), o que torna a integral tripla direta de calcular.
Passo 3
Calcular a divergência de
:
- Temos
, e . - Então, usando a definição,
- Computando cada derivada parcial (tratando as outras variáveis como constantes):
- Portanto
Passo 4
Montar a integral tripla para o fluxo usando o Teorema da Divergência:
- Pela fórmula do passo anterior,
onde é o cubo unitário com . - Em coordenadas cartesianas a integral fica
Passo 5
Avaliar a integral passo a passo (para poder fazer sem calculadora e entender cada etapa):
- Primeiro integrar em
: - Agora integrar em
: - Finalmente integrar em
: - Alternativa curta (verificação mental): como
pelo simetria do cubo e cada uma vale , a soma é .
Passo 6
Interpretação final e motivação:
- O fluxo total de
através da superfície do cubo é . - Comentário amigo: deu trabalho só de olhar, né? Mas usar o Teorema da Divergência costuma simplificar muito esses problemas com superfícies fechadas — em vez de somar fluxos em seis faces diferentes, passa-se para uma só integral no volume. Boa! Vai dar tempo de revisar mais uns exercícios desses.