Um volume esférico com
de raio contém uma densidade volumétrica de carga uniforme de
. (b) Agora, assuma que uma grande região contém uma dessas pequenas esferas em cada vértice de um cubo de 3 mm de lado e que não há carga entre as esferas. Qual é a densidade volumétrica de carga média nessa região?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tá lidando com densidade volumétrica de carga e arranjo espacial de cargas. Precisamos calcular a densidade volumétrica média de carga nessa grande região onde várias pequenas esferas estão posicionadas nos vértices de um cubo de 3 mm de lado. Para isso, vamos precisar entender como calcular a carga total nas esferas e depois distribuir essa carga pelo volume total do cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga presente em uma única esfera pequena. Sabemos que a densidade volumétrica de carga (
) é de
e o raio (
) da esfera é de
ou
.
A carga total (
) em uma esfera pode ser calculada usando a fórmula:
Onde
é o volume da esfera. O volume de uma esfera é dado por:
Então, substituindo os valores:
Agora, calculamos a carga:
Passo 3
Agora, vamos considerar o cubo grande de lado 3 mm (
). Cada vértice do cubo tem uma dessas pequenas esferas, e um cubo tem 8 vértices. Mas atenção: cada esfera está compartilhada por 8 cubos adjacentes (já que um vértice é comum a 8 cubos). Então, a carga efetiva por cubo é:
Isso significa que a carga total no cubo grande é igual à carga de uma única esfera pequena.
Passo 4
Agora, para encontrar a densidade volumétrica média de carga (
), dividimos a carga total pelo volume do cubo grande. Primeiro, calculamos o volume do cubo:
Então, a densidade média é:
Simplificando:
Resposta
A densidade volumétrica de carga média nessa região é aproximadamente
.