Um volume esférico com 2 mu m de raio contém uma densidade volumétrica de carga uniforme de 10^15 C / m^3. (b) Agora, assuma que uma grande região contém uma dessas pequenas esferas em cada vértice de um cubo de 3 mm de lado e que não há carga entre as esferas. Qual é a densidade volumétrica de carga média nessa região?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tá lidando com densidade volumétrica de carga e arranjo espacial de cargas. Precisamos calcular a densidade volumétrica média de carga nessa grande região onde várias pequenas esferas estão posicionadas nos vértices de um cubo de 3 mm de lado. Para isso, vamos precisar entender como calcular a carga total nas esferas e depois distribuir essa carga pelo volume total do cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga presente em uma única esfera pequena. Sabemos que a densidade volumétrica de carga ( rho) é de 10^15 C/m^3 e o raio ( r) da esfera é de 2 mum ou 2 times 10^-6 m.
A carga total ( Q) em uma esfera pode ser calculada usando a fórmula:
Q = rho times V
Onde V é o volume da esfera. O volume de uma esfera é dado por:
V = 43 pi r^3
Então, substituindo os valores:
V = 43 pi (2 times 10^-6)^3 = 43 pi (8 times 10^-18) = 323 pi times 10^-18 m^3
Agora, calculamos a carga:
Q = 10^15 C/m^3 times 323 pi times 10^-18 m^3 = 323 pi times 10^-3 C

Passo 3

Agora, vamos considerar o cubo grande de lado 3 mm ( 3 times 10^-3 m). Cada vértice do cubo tem uma dessas pequenas esferas, e um cubo tem 8 vértices. Mas atenção: cada esfera está compartilhada por 8 cubos adjacentes (já que um vértice é comum a 8 cubos). Então, a carga efetiva por cubo é:
Qtotal = 8 times (18 Q) = Q
Isso significa que a carga total no cubo grande é igual à carga de uma única esfera pequena.

Passo 4

Agora, para encontrar a densidade volumétrica média de carga ( rhomédiaé), dividimos a carga total pelo volume do cubo grande. Primeiro, calculamos o volume do cubo:
Vcubo = (3 times 10^-3)^3 = 27 times 10^-9 m^3
Então, a densidade média é:
rhomédia = QVcubo = 323 pi times 10^-3 C27 times 10^-9 m^3 = 32 pi times 10^-381 times 10^-9 C/m^3 é
Simplificando:
rhomédia = 32 pi81 times 10^6 C/m^3 approx 1.245 times 10^6 C/m^3 é

Resposta

A densidade volumétrica de carga média nessa região é aproximadamente 1.245 times 10^6 C/m^3.

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