O volume de um gás, medido a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1,00 bar, adsorvido na superfície de uma amostra de 1,50 \mathrm{~g} de sílica, a 0^{\circ} \mathrm{C}, é de 1,52 \mathrm{~cm} 3, a 56,4 \mathrm{kPa}, e 2,77 \mathrm{~cm} 3, a 108 kPa . Qual é o valor de Vmono?

Passo 1

O enunciado dá os volumes de um gás adsorvido sobre uma amostra de sílica e pede o valor de V_{\text{mono}}. Dados fornecidos:
\begin{aligned} \text{Massa da amostra} &= 1{,}50\\ \text{g},\\\ V_1 &= 1{,}52\\ \text{cm}^3\\ \text{(volume de gás adsorvido)},\quad p_1 = 56{,}4\\ \text{kPa},\\\ V_2 &= 2{,}77\\ \text{cm}^3\\ \text{(volume de gás adsorvido)},\quad p_2 = 108\\ \text{kPa}. \end{aligned}áá
O que é pedido: encontrar V_{\text{mono}} (volume de monocamada). Não foram dadas outras instruções, então vamos trabalhar com os dados acima para determinar V_{\text{mono}}.

Passo 2

Escolha do método (sem pânico — explico por que): com dois pares (p,V) a forma mais direta é usar o modelo de Langmuir para adsorção simples, porque esse modelo relaciona o volume adsorvido V com a pressão p através de dois parâmetros: o volume de monocamada V_{\text{m}} e a constante de equilíbrio K. O BET é mais indicado quando há várias medidas próximas da pressão de saturação e exige conhecer p_0; aqui temos só dois pontos e não foi dado p_0, então Langmuir é o caminho prático e suficiente. Vou explicar e usar Langmuir passo a passo.

Passo 3

Apresentando a fórmula de Langmuir e explicando cada símbolo:
A equação de Langmuir (na forma para volume adsorvido) é
V = V_{\text{m}}\cdot\frac{Kp}{1+Kp},
onde
  • V é o volume adsorvido (aqui em \text{cm}^3 nas condições dadas),
  • V_{\text{m}} é o volume correspondente à monocamada (o que queremos),
  • K é a constante de equilíbrio da adsorção (unidade: \text{kPa}^{-1} se p está em kPa),
  • p é a pressão (aqui em kPa).
Essa equação pode ser rearranjada para uma forma linear útil:
\frac{1}{V} = \frac{1}{V_{\text{m}}} + \frac{1}{V_{\text{m}}K}\cdot\frac{1}{p}.
Nessa forma, 1/V é linear em 1/p com intercepto 1/V_{\text{m}} e coeficiente angular 1/(V_{\text{m}}K). Com dois pontos podemos encontrar V_{\text{m}} sem precisar determinar K isoladamente.

Passo 4

Derivação direta de uma fórmula para V_{\text{m}} usando os dois pares (p_1,V_1) e (p_2,V_2) (uma manipulação algébrica que evita cálculo extra de K).
Partimos da forma rearranjada da equação de Langmuir:
K=\frac{V}{p\,(V_{\text{m}}-V)}.
Como K é o mesmo para os dois pontos, igualamos:
\frac{V_1}{p_1\,(V_{\text{m}}-V_1)}=\frac{V_2}{p_2\,(V_{\text{m}}-V_2)}.
Multiplicando em cruz e reorganizando obtemos (passo algébrico):
V_{\text{m}}=\frac{V_1 V_2 (p_2-p_1)}{V_1 p_2 - V_2 p_1}.
Essa fórmula dá V_{\text{m}} diretamente a partir de V_1,V_2,p_1,p_2. Agora substituímos os números.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos na fórmula. Primeiro calculo os produtos intermediários:
\begin{aligned} V_1V_2 &= 1{,}52\cdot 2{,}77 = 4{,}2104,\\\ p_2-p_1 &= 108 - 56{,}4 = 51{,}6\\ \text{kPa},\\\ V_1 p_2 &= 1{,}52\cdot 108 = 164{,}16,\\\ V_2 p_1 &= 2{,}77\cdot 56{,}4 = 156{,}228. \end{aligned}
Agora o numerador e o denominador:
\begin{aligned} \text{numerador} &= V_1V_2(p_2-p_1) = 4{,}2104\cdot 51{,}6 = 217{,}25664,\\\ \text{denominador} &= V_1 p_2 - V_2 p_1 = 164{,}16 - 156{,}228 = 7{,}932. \end{aligned}

Passo 6

Divido numerador pelo denominador para obter V_{\text{m}}:
V_{\text{m}} = \frac{217{,}25664}{7{,}932} \approx 27{,}39\\ \text{cm}^3.
Esse V_{\text{m}} é o volume de gás (medido nas condições dadas) que corresponde à monocamada sobre a amostra inteira de 1{,}50\\ \text{g}.

Passo 7

Como normalmente se reporta V_{\text{mono}} por grama de adsorvente, calculo também o valor por grama:
V_{\text{m, por g}} = \frac{27{,}39\\ \text{cm}^3}{1{,}50\\ \text{g}} \approx 18{,}26\\ \text{cm}^3\\ \text{g}^{-1}.

Passo 8

Checagem rápida (sentido físico): V cresce com p e V_{\text{m}} é maior que ambos os volumes medidos, o que faz sentido — a monocamada corresponderia a um volume maior que os adsorvidos a pressões intermediárias se a constante K for relativamente pequena. Os cálculos algébricos e as unidades estão consistentes.

Resposta

V_{\text{mono}} \approx 27{,}39\\ \text{cm}^3 (para a amostra de 1{,}50\\ \text{g})
V_{\text{mono}} \approx 18{,}26\\ \text{cm}^3\\ \text{g}^{-1}

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