7)A adsorção de cloreto de etila em uma amostra de carvão a 0^{\circ} \mathrm{C} e a várias pressões é:
P/mmHg 20 50 100 200 300
Massa _{\text {adsorvida }} / \mathbf{g} 3,0 3,8 4,3 4,7 4,8
Determine,mediante a isoterma de Langmuir,a massa de cloreto de etila necessária para formar uma monocamada.

Passo 1

O enunciado dá a adsorção de cloreto de etila em carvão à temperatura 0^\circ\mathrm{C} para várias pressões e pede: determinar, usando a isoterma de Langmuir, a massa de cloreto de etila necessária para formar uma monocamada.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} P\;(\mathrm{mmHg}) & \text{Massa adsorvida }w\;(\mathrm{g})\\hline 20 & 3,0\\\\ 50 & 3,8\\\\ 100 & 4,3\\\\ 200 & 4,7\\\\ 300 & 4,8 \end{array}
O que se pede: encontrar a massa correspondente à monocamada, que chamarei de w_m, usando a isoterma de Langmuir aplicada a esses dados.

Passo 2

Apresentação da isoterma de Langmuir e significado das variáveis (aula rápida e prática).
A isoterma de Langmuir parte da hipótese de sítios de adsorção iguais e independentes e dá a fração de sítios ocupados \theta como função da pressão P:
\theta=\frac{K P}{1+K P},
onde K é a constante de afinidade (unidade \mathrm{mmHg}^{-1} aqui). A massa adsorvida w é proporcional à fração de sítios ocupados:
w=w_m\theta,
onde w_m é a massa correspondente à monocamada (quando todos os sítios estão ocupados, isto é, \theta=1). Substituindo:
w = w_m\frac{K P}{1+K P}.
Nosso objetivo é obter w_m a partir dos dados experimentais (P,w).

Passo 3

Linearização prática: colocar a isoterma numa forma linear para ajustar por regressão.
A partir de
w = w_m\frac{K P}{1+K P},
invertemos ambos os lados:
\frac{1}{w} = \frac{1+K P}{w_m K P} = \frac{1}{w_m} + \frac{1}{w_m K}\cdot\frac{1}{P}.
Portanto, se fizermos y=\dfrac{1}{w} e x=\dfrac{1}{P}, obtemos a forma linear
y = a + b x,
com
a=\frac{1}{w_m},\qquad b=\frac{1}{w_m K}.
Assim, o intercepto a da reta y versus x nos dá diretamente 1/w_m e, portanto, w_m.

Passo 4

Calcular para cada ponto experimental x=\dfrac{1}{P} e y=\dfrac{1}{w}. (Faço os cálculos mostrando as contas, para você poder reproduzir na prova sem calculadora se der tempo; aqui uso aproximações com 6 dígitos quando necessário.)
Dados e transformações:
\begin{array}{c|c|c|c} P\;(\mathrm{mmHg}) & w\;(\mathrm{g}) & x=\dfrac{1}{P}\;(\mathrm{mmHg}^{-1}) & y=\dfrac{1}{w}\;(\mathrm{g}^{-1})\\hline 20 & 3{,}0 & 0{,}050000 & 0{,}333333\\\\ 50 & 3{,}8 & 0{,}020000 & 0{,}263158\\\\ 100 & 4{,}3 & 0{,}010000 & 0{,}232558\\\\ 200 & 4{,}7 & 0{,}005000 & 0{,}212766\\\\ 300 & 4{,}8 & 0{,}003333 & 0{,}208333 \end{array}

Passo 5

Calcular as somas necessárias para ajuste linear por mínimos quadrados (reta y=a+bx). Vou calcular:
n=5,
\sum x = 0{,}088333,\quad \sum y = 1{,}250149,
\sum x^2 = 0{,}00303611,\quad \sum xy = 0{,}02601368.
(Procurei manter 8–9 casas nas somas intermediárias para minimizar erro de arredondamento.)

Passo 6

Fórmulas da regressão linear (recordando como fazer na prova):
b=\frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2},
a=\frac{\sum y - b\sum x}{n}.
Substituindo os valores calculados:
b=\frac{5\cdot 0{,}02601368 - 0{,}088333\cdot 1{,}250149}{5\cdot 0{,}00303611 - (0{,}088333)^2} \approx 2{,}6603,
a=\frac{1{,}250149 - 2{,}6603\cdot 0{,}088333}{5} \approx 0{,}20303.
Lembrete didático: a é o intercepto (valor de y quando x=0), e é igual a 1/w_m segundo a linearização da isoterma de Langmuir.

Passo 7

Extrair w_m a partir do intercepto:
a=\frac{1}{w_m}\quad\Rightarrow\quad w_m=\frac{1}{a}.
Com a\approx 0{,}20303 obtemos
w_m \approx \frac{1}{0{,}20303}\approx 4{,}924\\ \mathrm{g}.
Como checagem rápida: os valores experimentais em altas pressões (200 e 300 mmHg) estão perto de 4{,}7 4{,}8\\ \mathrm{g}, então um w_m em torno de 4{,}9\\ \mathrm{g} faz sentido fisicamente (o isoterma tende ao máximo w_m quando P\to\infty).

Passo 8

(Extra — interpretar e motivar) Se quiser, a constante de afinidade K também pode ser obtida via b=\dfrac{1}{w_m K}, ou seja,
K=\frac{1}{w_m b}\approx\frac{1}{4{,}924\cdot 2{,}6603}\approx 0{,}0763\\ \mathrm{mmHg}^{-1},
mas isso é apenas adicional; o que a prova pediu foi w_m.

Resposta

4{,}92\\ \mathrm{g}

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