A tensão em cabos de arrasto submarino é modelada por T(x, y)=150 e^{-0.02 x} \cdot \ln (y+1), onde x= profundidade (\mathrm{m}) e y= ângulo de tração:
(a) Use a regra da cadeia para calcular \frac{d T}{d t} se x(t)=2 t e y(t)=\sin (\pi t / 12)
(b) Interprete fisicamente \frac{\partial T}{\partial x} e \frac{\partial T}{\partial y}

Passo 1

O enunciado nos dá a tensão em cabos como T(x,y)=150\,e^{-0.02x}\cdot\ln(y+1),
onde x é a profundidade (em metros) e y é o ângulo de tração (o enunciado usa y diretamente dentro do \ln, então assumimos que y é adimensional ou medido em radianos). Também são dadas as trajetórias no tempo:
x(t)=2t,\qquad y(t)=\sin\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big).
O problema pede:
(a) usar a regra da cadeia para calcular \dfrac{dT}{dt} com essas x(t) e y(t);
(b) interpretar fisicamente \dfrac{\partial T}{\partial x} e \dfrac{\partial T}{\partial y}.
Lista das informações relevantes: a fórmula de T(x,y) acima e as funções x(t) e y(t). Nada mais é necessário.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial T}{\partial x} e \dfrac{\partial T}{\partial y}. Antes, um lembrete didático: derivada parcial em relação a x significa tratar y como constante; derivada parcial em relação a y significa tratar x como constante.
Cálculo de \dfrac{\partial T}{\partial x}: mantenho y fixo, T é produto de constantes 150, da exponencial e^{-0.02x} e de \ln(y+1) (esta última é constante ao derivar em x). A derivada de e^{-0.02x} em relação a x é -0.02 e^{-0.02x}. Assim,
\frac{\partial T}{\partial x} =150\cdot\big(-0.02 e^{-0.02x}\big)\cdot\ln(y+1).
Multiplicando 150\cdot(-0.02)=-3, obtemos
\frac{\partial T}{\partial x}=-3\,e^{-0.02x}\,\ln(y+1).
Cálculo de \dfrac{\partial T}{\partial y}: agora x é constante, e^{-0.02x} é constante e a derivada de \ln(y+1) em relação a y é \dfrac{1}{y+1}. Assim,
\frac{\partial T}{\partial y} =150\,e^{-0.02x}\cdot\frac{1}{y+1} = \frac{150\,e^{-0.02x}}{y+1}.

Passo 3

Agora a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se T=T(x,y) e x=x(t),\,y=y(t), então a derivada total é
\frac{dT}{dt} =\frac{\partial T}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial T}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Isso vem da ideia de que variações em T no tempo resultam das variações de x e de y no tempo, somadas com os seus efeitos parciais.

Passo 4

Calculemos \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir das funções dadas.
De x(t)=2t temos
\frac{dx}{dt}=2.
De y(t)=\sin\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big) usamos a derivada da função seno: \dfrac{d}{dt}\sin(u(t))=\cos(u(t))\,u'(t). Aqui u(t)=\tfrac{\pi t}{12} tem u'(t)=\tfrac{\pi}{12}. Logo
\frac{dy}{dt}=\cos\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big)\cdot\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{12}\cos\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big).

Passo 5

Substituímos as parciais e as derivadas temporais na regra da cadeia:
\frac{dT}{dt} =\Big(-3\,e^{-0.02x}\,\ln(y+1)\Big)\cdot 2 +\Big(\frac{150\,e^{-0.02x}}{y+1}\Big)\cdot\frac{\pi}{12}\cos\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big).
Multiplicando o primeiro termo por 2 obtemos -6\,e^{-0.02x}\ln(y+1). No segundo termo calculemos a constante \dfrac{150\cdot\pi}{12}: \dfrac{150}{12}=12{,}5=\dfrac{25}{2}, então \dfrac{150\pi}{12}=\dfrac{25\pi}{2}. Assim
\frac{dT}{dt} =-6\,e^{-0.02x}\ln(y+1) +\frac{25\pi}{2}\,e^{-0.02x}\,\frac{\cos\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big)}{y+1}.

Passo 6

Finalmente, substituímos x(t)=2t e y(t)=\sin\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big) para escrever \dfrac{dT}{dt} explicitamente em função de t. Note que e^{-0.02x(t)}=e^{-0.02(2t)}=e^{-0.04t}. Também y(t)+1=1+\sin\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big). Portanto
\frac{dT}{dt} =-6\,e^{-0.04t}\,\ln\!\big(1+\sin\!\tfrac{\pi t}{12}\big) +\frac{25\pi}{2}\,e^{-0.04t}\,\frac{\cos\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big)}{1+\sin\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big)}.
Podemos fatorar e^{-0.04t} se quisermos:
\frac{dT}{dt}=e^{-0.04t}\!\left[-6\ln\!\big(1+\sin\!\tfrac{\pi t}{12}\big) +\frac{25\pi}{2}\cdot\frac{\cos\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big)}{1+\sin\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big)}\right].

Passo 7

Interpretação física das derivadas parciais (parte (b)), com linguagem direta e aplicada:
  • \dfrac{\partial T}{\partial x}=-3\,e^{-0.02x}\,\ln(y+1): isto é a taxa de variação da tensão T quando mudamos a profundidade x em uma pequena quantidade, mantendo o ângulo y fixo. Em palavras: se eu afundo o cabo um pouquinho (aumentando x) sem mexer no ângulo, a tensão muda aproximadamente \dfrac{\partial T}{\partial x} vezes a variação de profundidade. O sinal negativo (quando \ln(y+1)>0) indica que, para ângulos que tornam \ln(y+1) positivo, a tensão diminui com a profundidade — isto vem do fator exponencial decrescente e^{-0.02x}.
  • \dfrac{\partial T}{\partial y}=\dfrac{150\,e^{-0.02x}}{y+1}: isto é a taxa de variação da tensão T quando mudamos o ângulo y em uma pequena quantidade, mantendo a profundidade x fixada. Em palavras: se eu variar o ângulo de tração um pouco, a mudança aproximada na tensão é \dfrac{\partial T}{\partial y} vezes a variação do ângulo. Como \dfrac{\partial T}{\partial y}>0 para y>-1, aumentar o ângulo (quando faz sentido fisicamente) tende a aumentar a tensão; quanto maior a profundidade x (porque de novo aparece e^{-0.02x}), menor é a sensibilidade da tensão a mudanças no ângulo.
Observação prática: em provas, ao interpretar parciais, sempre diga qual variável é mantida fixa e o que significa o sinal (positivo/negativo) e a unidade implícita (por exemplo N por metro se T estiver em Newtons e x em metros).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dT}{dt}=e^{-0.04t}\!\left[-6\ln\!\big(1+\sin\!\tfrac{\pi t}{12}\big)+\frac{25\pi}{2}\cdot\frac{\cos\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big)}{1+\sin\!\big(\tfrac{\pi t}{12}\big)}\right]\n
(b) \displaystyle \frac{\partial T}{\partial x}=-3\,e^{-0.02x}\,\ln(y+1) (variação da tensão por unidade de profundidade, com y fixo; sinal negativo indica que, para \ln(y+1)>0, a tensão decresce ao aumentar a profundidade) \n \displaystyle \frac{\partial T}{\partial y}=\frac{150\,e^{-0.02x}}{y+1} (variação da tensão por unidade do ângulo, com x fixo; valor positivo indica que aumentar o ângulo tende a aumentar a tensão).

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