A tensão em cabos de arrasto submarino é modelada por
, onde
profundidade
e
ângulo de tração:
(a) Use a regra da cadeia para calcular
se
e
(b) Interprete fisicamente
e
(a) Use a regra da cadeia para calcular
(b) Interprete fisicamente
Passo 1
O enunciado nos dá a tensão em cabos como
onde
é a profundidade (em metros) e
é o ângulo de tração (o enunciado usa
diretamente dentro do
, então assumimos que
é adimensional ou medido em radianos). Também são dadas as trajetórias no tempo:
O problema pede:
(a) usar a regra da cadeia para calcular com essas
e
;
(b) interpretar fisicamente e
.
Lista das informações relevantes: a fórmula de acima e as funções
e
. Nada mais é necessário.
(a) usar a regra da cadeia para calcular
(b) interpretar fisicamente
Lista das informações relevantes: a fórmula de
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais
e
. Antes, um lembrete didático: derivada parcial em relação a
significa tratar
como constante; derivada parcial em relação a
significa tratar
como constante.
Cálculo de
: mantenho
fixo,
é produto de constantes
, da exponencial
e de
(esta última é constante ao derivar em
). A derivada de
em relação a
é
. Assim,
Multiplicando
, obtemos
Cálculo de
: agora
é constante,
é constante e a derivada de
em relação a
é
. Assim,
Passo 3
Agora a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se
e
, então a derivada total é
Isso vem da ideia de que variações em
no tempo resultam das variações de
e de
no tempo, somadas com os seus efeitos parciais.
Passo 4
Calculemos
e
a partir das funções dadas.
De
temos
De
usamos a derivada da função seno:
. Aqui
tem
. Logo
Passo 5
Substituímos as parciais e as derivadas temporais na regra da cadeia:
Multiplicando o primeiro termo por
obtemos
. No segundo termo calculemos a constante
:
, então
. Assim
Passo 6
Finalmente, substituímos
e
para escrever
explicitamente em função de
. Note que
. Também
. Portanto
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 7
Interpretação física das derivadas parciais (parte (b)), com linguagem direta e aplicada:
-
: isto é a taxa de variação da tensão quando mudamos a profundidade em uma pequena quantidade, mantendo o ângulo fixo. Em palavras: se eu afundo o cabo um pouquinho (aumentando ) sem mexer no ângulo, a tensão muda aproximadamente vezes a variação de profundidade. O sinal negativo (quando ) indica que, para ângulos que tornam positivo, a tensão diminui com a profundidade — isto vem do fator exponencial decrescente . -
: isto é a taxa de variação da tensão quando mudamos o ângulo em uma pequena quantidade, mantendo a profundidade fixada. Em palavras: se eu variar o ângulo de tração um pouco, a mudança aproximada na tensão é vezes a variação do ângulo. Como para , aumentar o ângulo (quando faz sentido fisicamente) tende a aumentar a tensão; quanto maior a profundidade (porque de novo aparece ), menor é a sensibilidade da tensão a mudanças no ângulo.
Observação prática: em provas, ao interpretar parciais, sempre diga qual variável é mantida fixa e o que significa o sinal (positivo/negativo) e a unidade implícita (por exemplo N por metro se
estiver em Newtons e
em metros).
Resposta
(a)
\n
(b) (variação da tensão por unidade de profundidade, com
fixo; sinal negativo indica que, para
, a tensão decresce ao aumentar a profundidade) \n
(variação da tensão por unidade do ângulo, com
fixo; valor positivo indica que aumentar o ângulo tende a aumentar a tensão).
(b)