O volume molar do etano, sob pressão de 14,6 bar e na temperatura de 8^{\circ} \mathrm{C}, vale 1,33 \mathrm{~L} / \mathrm{mol}. Qual será o volume molar do acetileno considerando que esteja em estado correspondente com o etano? OBS: no mesmo estado reduzido os gases têm o mesmo fator de compressibilidade.
Dados: Etano: P_{c}=48,7 bar e T_{c}=305,4 \mathrm{~K}; Acetileno: P_{c}=61,2 bar e T_{c}=308,3 \mathrm{~K}.

Passo 1

O enunciado pede: dado que o etano tem volume molar 1,33\\ \mathrm{L/mol} sob P=14,6\\ \mathrm{bar} e T=8^\circ\mathrm{C}, encontrar o volume molar do acetileno quando este estiver em estado correspondente com o etano (ou seja, mesmo estado reduzido).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Etano:}\quad P=14,6\\ \mathrm{bar},\quad T=8^\circ\mathrm{C},\quad V_{m,\text{etano}}=1,33\\ \mathrm{L/mol},\\[4pt] &\qquad P_{c,\text{etano}}=48,7\\ \mathrm{bar},\quad T_{c,\text{etano}}=305,4\\ \mathrm{K}.\\[4pt] &\text{Acetileno:}\quad P_{c,\text{acetileno}}=61,2\\ \mathrm{bar},\quad T_{c,\text{acetileno}}=308,3\\ \mathrm{K}. \end{aligned}
Observação importante do enunciado: no mesmo estado reduzido os gases têm o mesmo fator de compressibilidade (mesmo Z). A resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • O fator de compressibilidade Z mede o desvio de um gás do comportamento ideal. Definição:
Z=\frac{P\,V_m}{R\,T},
onde P é a pressão, V_m é o volume molar, R é a constante universal dos gases e T é a temperatura absoluta (Kelvin). Cada símbolo significa:
  • P: pressão no mesmo sistema de unidades que R usa (aqui usamos \mathrm{bar});
  • V_m: volume por mol, em \mathrm{L/mol};
  • R: constante dos gases, \displaystyle R=0,08314\\ \mathrm{L\cdot bar/(mol\cdot K)} (valor prático quando P em bar e V em L);
  • T: temperatura em Kelvin.
  • O princípio dos estados correspondentes diz: se dois gases estão no mesmo estado reduzido, isto é, têm o mesmo T_r e o mesmo P_r, então eles têm (aproximadamente) o mesmo Z. Definições:
T_r=\frac{T}{T_c},\qquad P_r=\frac{P}{P_c},
onde T_c e P_c são as temperaturas e pressões críticas do gás.
  • Portanto, para o etano e o acetileno no mesmo estado reduzido temos Z_{\text{etano}}=Z_{\text{acetileno}}. Usaremos isso para calcular o volume molar do acetileno.

Passo 3

Converter temperatura do etano para Kelvin e calcular T_r e P_r do etano.
T_{\text{etano}}=8^\circ\mathrm{C}=273,15+8=281,15\\ \mathrm{K}.
Calcular:
T_r=\frac{T_{\text{etano}}}{T_{c,\text{etano}}}=\frac{281,15}{305,4}.
Vamos calcular numericamente:
T_r=\frac{281,15}{305,4}\approx 0,9208.
E
P_r=\frac{P}{P_{c,\text{etano}}}=\frac{14,6}{48,7}\approx 0,2998.

Passo 4

Calcular o fator de compressibilidade Z do etano usando Z=\dfrac{P\,V_m}{R\,T}.
Substituindo os números (tudo em TeX):
Z_{\text{etano}}=\frac{14,6\cdot 1,33}{0,08314\cdot 281,15}.
Calcule passo a passo:
\text{Denominador }=0,08314\cdot 281,15\approx 23,3748.
\text{Numerador }=14,6\cdot 1,33=19,418.
Logo
Z_{\text{etano}}=\frac{19,418}{23,3748}\approx 0,8308.
Interpretação: Z menor que 1 indica compressibilidade abaixo da ideal (comportamento real do gás nas condições dadas).

Passo 5

Encontrar as condições reais ( T e P ) do acetileno que correspondem ao mesmo estado reduzido T_r e P_r encontrados para o etano.
Usamos:
T_{\text{acetileno}}=T_r\;T_{c,\text{acetileno}}=0,9208\cdot 308,3,
P_{\text{acetileno}}=P_r\;P_{c,\text{acetileno}}=0,2998\cdot 61,2.
Calcule numericamente:
T_{\text{acetileno}}\approx 0,9208\cdot 308,3\approx 283,78\\ \mathrm{K}.
P_{\text{acetileno}}\approx 0,2998\cdot 61,2\approx 18,35\\ \mathrm{bar}.

Passo 6

Relação entre volumes molares quando Z é o mesmo:
Como V_m=\dfrac{Z R T}{P}, se Z é igual para os dois gases, então
\frac{V_{m,\text{acetileno}}}{V_{m,\text{etano}}}=\frac{T_{\text{acetileno}}/P_{\text{acetileno}}}{T_{\text{etano}}/P_{\text{etano}}} =\frac{T_{\text{acetileno}}\,P_{\text{etano}}}{T_{\text{etano}}\,P_{\text{acetileno}}}.
Esta fórmula é prática porque cancela Z e R; vamos usá-la para calcular V_{m,\text{acetileno}} sem recalcular Z (ou podemos usar V_m=ZRT/P, ambas dão o mesmo resultado).

Passo 7

Aplicar a fórmula e calcular numericamen­te:
V_{m,\text{acetileno}}=V_{m,\text{etano}}\cdot\frac{T_{\text{acetileno}}\,P_{\text{etano}}}{T_{\text{etano}}\,P_{\text{acetileno}}}.
Substituindo os valores:
V_{m,\text{acetileno}}=1,33\cdot\frac{283,78\cdot 14,6}{281,15\cdot 18,35}.
Calcule separadamente:
\frac{283,78}{281,15}\approx 1,0093,\qquad \frac{14,6}{18,35}\approx 0,7954.
Multiplicando:
\frac{283,78\cdot 14,6}{281,15\cdot 18,35}\approx 1,0093\cdot 0,7954\approx 0,8027.
Portanto
V_{m,\text{acetileno}}\approx 1,33\cdot 0,8027\approx 1,07\\ \mathrm{L/mol}.

Passo 8

Verificação alternativa (cheque rápido usando V_m=ZRT/P com Z obtido no Passo 4):
V_{m,\text{acetileno}}=\frac{Z\cdot R\cdot T_{\text{acetileno}}}{P_{\text{acetileno}}} \approx\frac{0,8308\cdot 0,08314\cdot 283,78}{18,35}\approx 1,07\\ \mathrm{L/mol},
o que confirma o resultado anterior (diferenças numéricas de arredondamento pequenas).

Resposta

1,07\\ \mathrm{L/mol}

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