Calcular a pressão exercida por 0,5 \mathrm{~kg} de \mathrm{CH}_{4} a 280^{\circ} \mathrm{C} num recipiente de 2,5 litros:
a) aplicando equação dos gases ideais.
b) aplicando equação de van der Waals. Calcule o fator de compressibilidade. (Dados: a=0,228 Pa. \mathrm{m}^{6} / \mathrm{mol}^{2} ; b=4,3 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{mol} )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Calcular a pressão exercida por \,0,5\\ \mathrm{kg} de \mathrm{CH}_{4} a 280^\circ\mathrm{C} num recipiente de 2,5 litros usando a equação dos gases ideais.
b) Calcular a pressão para o mesmo sistema usando a equação de van der Waals e, a partir disso, calcular o fator de compressibilidade.
Dados fornecidos (listei também as unidades SI para trabalhar):
\,m=0,5\\ \mathrm{kg}=500\\ \mathrm{g} (massa de \mathrm{CH}_4).
\,T=280^\circ\mathrm{C}=280+273,15=553,15\\ \mathrm{K}.
\,V=2,5\\ \mathrm{L}=2,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
Constantes de van der Waals (fornecidas):
\,a=0,228\\ \mathrm{Pa\cdot m^{6}/mol^{2}}.
\,b=4,3\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
Massa molar do \mathrm{CH}_4: vou usar \,M=16,04\\ \mathrm{g/mol}.
Constante universal dos gases: \,R=8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
O que vamos calcular (resumo): primeiro determinamos o número de mols \,n; depois (a) usamos \,P=\dfrac{nRT}{V}; (b) usamos \,\left(P + a\frac{n^{2}}{V^{2}}\right)(V - n b) = n R T para achar P e, por fim, o fator de compressibilidade \,Z=\dfrac{P V}{n R T}. Vou mostrar cada passo com calma e os conceitos usados.

Passo 2

Calcular o número de mols \,n de \mathrm{CH}_{4}.
Explicação do conceito: o número de mols é a razão entre a massa da amostra e a massa molar da substância. A massa molar \,M diz quantos gramas tem 1 mol da substância.
Fórmula:
n=\frac{m}{M}
Onde:
  • n é o número de mols (mol),
  • m é a massa da amostra (g),
  • M é a massa molar (g/mol).
Cálculo numérico:
n=\frac{500}{16,04}\\ \mathrm{mol}
Agora faço a divisão:
n\approx 31,17\\ \mathrm{mol}.
(Arredondei para duas casas decimais mas mantenho isso para os cálculos seguintes com precisão suficiente.)

Passo 3

Cálculo da pressão pela equação dos gases ideais.
Aula rápida: a equação dos gases ideais relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade de substância por:
P V = n R T.
Aqui:
  • P é a pressão (Pa),
  • V é o volume (m^3),
  • n é o número de mols (mol),
  • R é a constante dos gases ( \,8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta (K).
Isolando P:
P=\frac{n R T}{V}.
Substituindo os valores (todos já em unidades SI):
P=\frac{31,17\cdot 8,314\cdot 553,15}{2,5\times 10^{-3}}\\ \mathrm{Pa}.
Faço as contas em partes:
nRT \approx 31,17\cdot 8,314\cdot 553,15 \approx 1,43347\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Dividindo por V:
P_{\text{ideal}}\approx \frac{1,43347\times10^{5}}{2,5\times10^{-3}} \approx 5,7339\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação rápida: pressão muito alta porque colocamos muitos mols ( \sim31 mol) num volume muito pequeno ( 2,5 L) mesmo a temperatura elevada.

Passo 4

Introdução à equação de van der Waals e preparação dos termos.
Aula rápida: a equação de van der Waals corrige a equação dos gases ideais para considerar interações entre moléculas (termo com a) e volume finito das moléculas (termo com b). A forma é
\left(P + a\frac{n^{2}}{V^{2}}\right)(V - n b)=n R T.
Desse modo, a pressão real é
P=\frac{n R T}{V - n b} - a\frac{n^{2}}{V^{2}}.
Explicando os termos:
  • a corrige a pressão por atração intermolecular (unidade compatível com \mathrm{Pa\cdot m^{6}/mol^{2}}),
  • b corrige o volume disponível (unidade \mathrm{m^{3}/mol}),
  • n e V como antes.
Antes de aplicar, calculo n b e V^{2}, n^{2} separadamente.
Cálculos intermediários:
n b = 31,17\cdot 4,3\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}} \approx 0,0013403\\ \mathrm{m^{3}}.
V - n b = 2,5\times10^{-3} - 0,0013403 \approx 0,0011597\\ \mathrm{m^{3}}.
n^{2} \approx (31,17)^{2} \approx 971,55.
V^{2} = (2,5\times10^{-3})^{2} = 6,25\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{6}}.

Passo 5

Cálculo numérico completo da pressão de van der Waals.
Usando a fórmula:
P_{\text{vdW}}=\frac{n R T}{V - n b} - a\frac{n^{2}}{V^{2}}.
Já tenho n R T \approx 1,43347\times10^{5}\\ \mathrm{J} do Passo 3 e V - n b \approx 1,1597\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}. Então:
\frac{n R T}{V - n b}\approx \frac{1,43347\times10^{5}}{1,1597\times10^{-3}} \approx 1,23566\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Agora calculo o termo de correção com a:
a\frac{n^{2}}{V^{2}} \approx 0,228\cdot \frac{971,55}{6,25\times10^{-6}} \approx 0,228\cdot 1,55448\times10^{8} \approx 3,5429\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Subtraindo:
P_{\text{vdW}}\approx 1,23566\times10^{8} - 3,5429\times10^{7} \approx 8,8137\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Observação física: o termo -a n^{2}/V^{2} reduz a pressão (efeito de atração), mas o termo V - n b reduz o volume disponível (aumentando a pressão). No nosso caso numérico o ajuste total aumenta a pressão em relação ao ideal, porque o efeito do volume ocupado (denominador menor) foi mais forte que a correção negativa do termo a.

Passo 6

Cálculo do fator de compressibilidade Z e interpretação.
Definição e interpretação: o fator de compressibilidade mede o quanto o gás real desvia do comportamento ideal. Uma definição comum é
Z=\frac{P V}{n R T}.
Se Z=1, o gás se comporta idealmente; Z>1 indica comportamento “mais rígido” (pressão real maior que a ideal), Z<1 indica comportamento com atrações dominantes.
Usando P_{\text{vdW}}:
Z=\frac{P_{\text{vdW}}\,V}{n R T}=\frac{P_{\text{vdW}}}{P_{\text{ideal}}}.
Já calculei P_{\text{ideal}}\approx 5,7339\times10^{7}\\ \mathrm{Pa} e P_{\text{vdW}}\approx 8,8137\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}. Portanto:
Z\approx \frac{8,8137\times10^{7}}{5,7339\times10^{7}}\approx 1,54.
Interpretação curta: Z\approx 1,54>1 significa que, nas condições dadas, o gás ocupa efetivamente menos volume disponível (o termo b) e isso domina, gerando pressão real maior que a prevista pelo modelo ideal.

Resposta

(a) P_{\text{ideal}}\approx 5,73\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\n
(b) P_{\text{vdW}}\approx 8,81\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\n
Fator de compressibilidade: Z\approx 1,54

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