1. Cálculo do produto misto
Sejam
$$\vec{u}=(1,2,1), \quad \vec{v}=(0,1,-1), \quad \vec{w}=(2,1,0)
a) Calcule o produto \vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w})

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço e pede o produto misto:
\vec{u}=(1,2,1),\qquad \vec{v}=(0,1,-1),\qquad \vec{w}=(2,1,0).
A pergunta é calcular o escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Vou listar claramente o que isso significa: precisamos primeiro calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} (resultado será um vetor) e depois o produto escalar desse vetor com \vec{u}.

Passo 2

Relembrando a definição e uma forma prática de calcular:
  • O produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} entre \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) tem componentes
\vec{v}\times\vec{w}=\big(v_2 w_3 - v_3 w_2,\; v_3 w_1 - v_1 w_3,\; v_1 w_2 - v_2 w_1\big).
Expliquei cada termo: por exemplo a primeira componente é a diferença dos produtos das componentes y de \vec{v} com z de \vec{w} menos z de \vec{v} com y de \vec{w}.
  • O produto misto \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é então o produto escalar entre \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e esse vetor, ou seja
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=u_1 (v_2 w_3 - v_3 w_2)+u_2 (v_3 w_1 - v_1 w_3)+u_3 (v_1 w_2 - v_2 w_1).
Também é útil saber que esse escalar é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}, mas vou calcular primeiro via produto vetorial + escalar para seguir passo a passo.

Passo 3

Calcular \vec{v}\times\vec{w} usando os valores dados. Aqui anoto as componentes:
\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)=(0,1,-1),\qquad \vec{w}=(w_1,w_2,w_3)=(2,1,0).
Aplicando a fórmula componente a componente:
  • Primeira componente:
v_2 w_3 - v_3 w_2 = 1\cdot 0 - (-1)\cdot 1 = 0 - (-1) = 1.
  • Segunda componente:
v_3 w_1 - v_1 w_3 = (-1)\cdot 2 - 0\cdot 0 = -2 - 0 = -2.
  • Terceira componente:
v_1 w_2 - v_2 w_1 = 0\cdot 1 - 1\cdot 2 = 0 - 2 = -2.
Portanto
\vec{v}\times\vec{w}=(1,-2,-2).

Passo 4

Agora faço o produto escalar com \vec{u}=(1,2,1). Produto escalar entre \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) é
\vec{u}\cdot\vec{a}=u_1 a_1 + u_2 a_2 + u_3 a_3.
Substituindo \vec{a}=\vec{v}\times\vec{w}=(1,-2,-2):
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 1\cdot 1 + 2\cdot(-2) + 1\cdot(-2).
Calculo cada termo:
1\cdot 1 = 1,\qquad 2\cdot(-2) = -4,\qquad 1\cdot(-2) = -2.
Somando:
1 + (-4) + (-2) = 1 -4 -2 = -5.

Passo 5

(i) Verificação alternativa rápida usando determinante (opcional, só para afirmar confiança): o produto misto também é
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Calculando por desenvolvimento na primeira linha:
1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]2 & 0\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-(-1)\cdot1=1,
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 2 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-(-1)\cdot2=2,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot2=-2.
Substituindo:
1\cdot 1 -2\cdot 2 +1\cdot(-2)=1-4-2=-5,
confirmando o resultado anterior.]

Resposta

-5

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