- Cálculo do produto misto
Sejam
$$\vec{u}=(1,2,1), \quad \vec{v}=(0,1,-1), \quad \vec{w}=(2,1,0)
a) Calcule o produto
Passo 1
O enunciado dá três vetores no espaço e pede o produto misto:
A pergunta é calcular o escalar
. Vou listar claramente o que isso significa: precisamos primeiro calcular o produto vetorial
(resultado será um vetor) e depois o produto escalar desse vetor com
.
Passo 2
Relembrando a definição e uma forma prática de calcular:
- O produto vetorial
entre e tem componentes
Expliquei cada termo: por exemplo a primeira componente é a diferença dos produtos das componentes
de
com
de
menos
de
com
de
.
- O produto misto
é então o produto escalar entre e esse vetor, ou seja
Também é útil saber que esse escalar é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores
, mas vou calcular primeiro via produto vetorial + escalar para seguir passo a passo.
Passo 3
Calcular
usando os valores dados. Aqui anoto as componentes:
Aplicando a fórmula componente a componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto
Passo 4
Agora faço o produto escalar com
. Produto escalar entre
e
é
Substituindo
:
Calculo cada termo:
Somando:
Passo 5
(i) Verificação alternativa rápida usando determinante (opcional, só para afirmar confiança): o produto misto também é
Calculando por desenvolvimento na primeira linha:
Cada menor:
Substituindo:
confirmando o resultado anterior.]