O volume do sólido
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 4 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9, z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}
é igual a:
a) \frac{19 \pi(2-\sqrt{2})}{3}
b) \frac{19 \pi(2+\sqrt{2})}{3}
c) \frac{19 \pi(2+\sqrt{2})}{3}
d) \frac{19 \pi(1+\sqrt{2})}{3}
e) \frac{19 \pi \sqrt{2}}{3}

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 4 \le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9,\; z \ge \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há uma casca esférica limitada pelas esferas de raios \sqrt{4}=2 e \sqrt{9}=3, ou seja 2 \le \rho \le 3 se \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Há a condição extra z \ge \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que restringe a região dentro dessa casca.
  • A tarefa é calcular o volume dessa porção da casca.

Passo 2

Escolhemos coordenadas esféricas porque a região é naturalmente descrita por uma condição radial (entre duas esferas) e por uma condição angular simples. Vamos relembrar as definições e a fórmula do volume em coordenadas esféricas:
Definições das coordenadas esféricas (convencional):
\begin{aligned} x &= \rho \sin\varphi \cos\theta,\\\ y &= \rho \sin\varphi \sin\theta,\\\ z &= \rho \cos\varphi, \end{aligned}
onde \rho\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ângulo com a vertical), e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
O elemento de volume em esféricas é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Explicando pedagogicamente: \rho^{2}\sin\varphi é o jacobiano da transformação; \rho^{2} vem da expansão em fatias esféricas (área de esfera de raio \rho é 4\pi\rho^{2}) e o \sin\varphi aparece pela projeção do elemento de área angular.

Passo 3

Agora traduzimos as condições do enunciado para esféricas.
  1. A condição radial 4 \le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 vira
4 \le \rho^{2} \le 9 \quad\Rightarrow\quad 2 \le \rho \le 3.
  1. A condição z \ge \sqrt{x^{2}+y^{2}} escrevendo em esféricas: \rho\cos\varphi \ge \rho\sin\varphi. Como \rho>0 nessa casca, podemos dividir por \rho e obter
\cos\varphi \ge \sin\varphi.
Isto é equivalente a
\tan\varphi \le 1 \quad\Rightarrow\quad \varphi \le \frac{\pi}{4}.
Também devemos lembrar que \varphi\ge0. Portanto o intervalo para \varphi é 0 \le \varphi \le \tfrac{\pi}{4}.
  1. Não há restrição em \theta, então \theta\in[0,2\pi].
Resumo das bounds em esféricas:
\rho\in[2,3],\qquad \varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{4}\right],\qquad \theta\in[0,2\pi].

Passo 4

Montamos a integral do volume usando o elemento dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta:
\text{Vol}(S)=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=2}^{3} \rho^{2}\sin\varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Como os limites separam, podemos fatorar:
\text{Vol}(S)=\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\, d\varphi\right)\left(\int_{2}^{3}\rho^{2}\, d\rho\right).

Passo 5

Calcule cada integral separadamente.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  1. Integral em \rho:
\int_{2}^{3}\rho^{2}\, d\rho = \left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{2}^{3} = \frac{27-8}{3} = \frac{19}{3}.
  1. Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\, d\varphi = \left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi/4} = 1-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = 1-\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Juntando os fatores:
\text{Vol}(S)=2\pi\cdot\frac{19}{3}\cdot\frac{2-\sqrt{2}}{2}.
Simplificando o 2 do numerador com o \tfrac{1}{2}:
\text{Vol}(S)=\pi\cdot\frac{19}{3}\cdot(2-\sqrt{2}).
Então o volume final é \dfrac{19\pi(2-\sqrt{2})}{3}.

Resposta

\dfrac{19\pi(2-\sqrt{2})}{3}

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