O volume do sólido S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 4 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9, z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}
é igual a:
a) \frac{19 \pi(2-\sqrt{2})}{3}
b) \frac{19 \pi(2+\sqrt{2})}{3}
c) \frac{19 \pi(2+\sqrt{2})}{3}
d) \frac{19 \pi(1+\sqrt{2})}{3}
e) \frac{19 \pi \sqrt{2}}{3}
Passo 1
O enunciado pede o volume do conjunto
S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 4 \le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9,\; z \ge \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Há uma casca esférica limitada pelas esferas de raios \sqrt{4}=2 e \sqrt{9}=3, ou seja 2 \le \rho \le 3 se \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Há a condição extra z \ge \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que restringe a região dentro dessa casca.
A tarefa é calcular o volume dessa porção da casca.
Passo 2
Escolhemos coordenadas esféricas porque a região é naturalmente descrita por uma condição radial (entre duas esferas) e por uma condição angular simples. Vamos relembrar as definições e a fórmula do volume em coordenadas esféricas:
Definições das coordenadas esféricas (convencional):
\begin{aligned} x &= \rho \sin\varphi \cos\theta,\\\ y &= \rho \sin\varphi \sin\theta,\\\ z &= \rho \cos\varphi, \end{aligned}
onde \rho\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ângulo com a vertical), e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
O elemento de volume em esféricas é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Explicando pedagogicamente: \rho^{2}\sin\varphi é o jacobiano da transformação; \rho^{2} vem da expansão em fatias esféricas (área de esfera de raio \rho é 4\pi\rho^{2}) e o \sin\varphi aparece pela projeção do elemento de área angular.
Passo 3
Agora traduzimos as condições do enunciado para esféricas.
A condição radial 4 \le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 vira
A condição z \ge \sqrt{x^{2}+y^{2}} escrevendo em esféricas: \rho\cos\varphi \ge \rho\sin\varphi. Como \rho>0 nessa casca, podemos dividir por \rho e obter