O volume do sólido obtido girando-se em relação ao eixo x, a região limitada pelas retas v=0, x=0, x=2 e v=x+3 é:
a) 62pi/3 u.v.
b) 35pi u.v.
c) 98pi/3 u.v.
d) 78pi/3 u.v.
e) 42pi u.v.
a) 62pi/3 u.v.
b) 35pi u.v.
c) 98pi/3 u.v.
d) 78pi/3 u.v.
e) 42pi u.v.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo
. Essa região é limitada pelas retas
(o eixo
),
,
e
. Para resolver isso, vamos usar cálculo de volumes por método dos discos. Precisamos entender como essas retas delimitam a área e como aplicar a fórmula para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. As retas são:
-
: eixo -
: eixo (quando representa a coordenada ) -
: uma linha vertical no ponto -
: uma reta que intercepta o eixo em quando e tem inclinação 1
Essa região é um trapézio que vai de
a
, limitado abaixo por
e acima por
.
Passo 3
Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo
, usamos o método dos discos. A fórmula geral é:
Aqui,
é a função que define a borda superior da região em relação ao eixo
, e
é o intervalo de
.
Passo 4
No nosso caso, a função que limita a região acima é
. Então,
. Os limites de integração são
e
. Vamos substituir na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos expandir $ (x + 3)^2 $:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 7
Agora, substituímos
e
:
Para
:
Para
:
Então, a diferença é
.
Passo 8
Multiplicando pelo
:
Resposta
A alternativa correta é a c) $ \frac{98\pi}{3} , u.v. $