O volume do sólido obtido girando-se em relação ao eixo x, a região limitada pelas retas v=0, x=0, x=2 e v=x+3 é:
a) 62pi/3 u.v.
b) 35pi u.v.
c) 98pi/3 u.v.
d) 78pi/3 u.v.
e) 42pi u.v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo x. Essa região é limitada pelas retas v = 0 (o eixo x), x = 0, x = 2 e v = x + 3. Para resolver isso, vamos usar cálculo de volumes por método dos discos. Precisamos entender como essas retas delimitam a área e como aplicar a fórmula para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. As retas são:
  • v = 0: eixo x
  • x = 0: eixo y (quando v representa a coordenada y)
  • x = 2: uma linha vertical no ponto x = 2
  • v = x + 3: uma reta que intercepta o eixo v em v = 3 quando x = 0 e tem inclinação 1
Essa região é um trapézio que vai de x = 0 a x = 2, limitado abaixo por v = 0 e acima por v = x + 3.

Passo 3

Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x, usamos o método dos discos. A fórmula geral é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, f(x) é a função que define a borda superior da região em relação ao eixo x, e [a, b] é o intervalo de x.

Passo 4

No nosso caso, a função que limita a região acima é v = x + 3. Então, f(x) = x + 3. Os limites de integração são x = 0 e x = 2. Vamos substituir na fórmula:
V = pi integral0^2 (x + 3)^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos expandir $ (x + 3)^2 $:
(x + 3)^2
Então, a integral fica:
(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral (x^2) , dx = x^33 integral (6x) , dx = 3x^2 integral (9) , dx = 9x
Então,
V = pi [ x^33 + 3x^2 + 9x ]0^2

Passo 7

Agora, substituímos x = 2 e x = 0:
Para x = 2:
2^33 + 3(2)^2 + 9(2) = 83 + 12 + 18 = 83 + 30 = 983
Para x = 0:
0^33 + 3(0)^2 + 9(0) = 0
Então, a diferença é 983 - 0 = 983.

Passo 8

Multiplicando pelo pi:
V = pi times 983 = 98pi3 , uv

Resposta

A alternativa correta é a c) $ \frac{98\pi}{3} , u.v. $

Exercícios relacionados