O volume de um tronco de pirâmide hexagonal regular de bases paralelas é igual a
. Sua altura mede 3 m e a área da base maior
. Calcule a relação que existe entre os lados dos hexágonos das bases.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação entre os lados dos hexágonos das bases:
- Volume do tronco de pirâmide hexagonal regular:
. - Altura do tronco:
. - Área da base maior:
. - Queremos a relação entre os lados dos hexágonos das bases (ou seja, razão do lado da base menor pelo lado da base maior).
Passo 2
Vamos usar a fórmula do volume de um tronco de pirâmide (tronco de pirâmide = pirâmide cortada paralelamente à base). A fórmula é
onde:
-
é o volume do tronco, -
é a altura do tronco (distância entre as bases), -
e são as áreas das duas bases (uma maior, outra menor).
Explicação rápida dessa fórmula: ela vem da combinação de volumes de pirâmides semelhantes — é a forma padrão para tronco de pirâmide e vale para qualquer tronco de base poligonal quando as bases são semelhantes e paralelas.
Passo 3
Identifico variáveis com os dados:
Substituindo na fórmula:
Como
, simplificamos para
Reescrevendo para igualar a zero:
Passo 4
Para resolver a equação
é conveniente usar a substituição
(assim
e
). Substituindo:
Agora temos uma equação quadrática em
.
Passo 5
Resolvemos a quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Como
e precisamos de
, escolhemos o sinal
:
Observando que
, temos
Lembrando que
, obtemos
Assim a área da base menor é
(aprox.
).
Passo 6
Agora relacionamos áreas e lados de hexágonos regulares. Para um hexágono regular de lado
a área é
Para duas figuras semelhantes (aqui os dois hexágonos regulares) as áreas escalonam com o quadrado dos lados. Portanto, se
é o lado da base maior e
o lado da base menor,
Queremos
, então
Passo 7
Substituímos
e
:
Agora simplificamos essa raiz: note que
Como
, obtemos
Passo 8
Conclusão prática: o lado do hexágono da base menor é
vezes o lado da base maior. Numericamente essa razão é aproximadamente
. Força aí — você já tem a relação exata e a aproximada para usar na prova!