O volume de um tronco de pirâmide hexagonal regular de bases paralelas é igual a 40 \mathrm{~m}^{3}. Sua altura mede 3 m e a área da base maior 20 \mathrm{~m}^{2}. Calcule a relação que existe entre os lados dos hexágonos das bases.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação entre os lados dos hexágonos das bases:
  • Volume do tronco de pirâmide hexagonal regular: 40\\ \mathrm{m}^3.
  • Altura do tronco: 3\\ \mathrm{m}.
  • Área da base maior: 20\\ \mathrm{m}^2.
  • Queremos a relação entre os lados dos hexágonos das bases (ou seja, razão do lado da base menor pelo lado da base maior).

Passo 2

Vamos usar a fórmula do volume de um tronco de pirâmide (tronco de pirâmide = pirâmide cortada paralelamente à base). A fórmula é
V=\frac{h}{3}\left(A_{1}+A_{2}+\sqrt{A_{1}A_{2}}\right),
onde:
  • V é o volume do tronco,
  • h é a altura do tronco (distância entre as bases),
  • A_{1} e A_{2} são as áreas das duas bases (uma maior, outra menor).
    Explicação rápida dessa fórmula: ela vem da combinação de volumes de pirâmides semelhantes — é a forma padrão para tronco de pirâmide e vale para qualquer tronco de base poligonal quando as bases são semelhantes e paralelas.

Passo 3

Identifico variáveis com os dados:
V=40,\qquad h=3,\qquad A_{1}=20,\qquad A_{2}=\text{(área da base menor que vamos chamar de }x).á
Substituindo na fórmula:
40=\frac{3}{3}\left(20+x+\sqrt{20\cdot x}\right).
Como \dfrac{3}{3}=1, simplificamos para
40=20+x+\sqrt{20x}.
Reescrevendo para igualar a zero:
x+\sqrt{20x}-20=0.

Passo 4

Para resolver a equação x+\sqrt{20x}-20=0 é conveniente usar a substituição t=\sqrt{x} (assim x=t^{2} e t\ge 0). Substituindo:
t^{2}+\sqrt{20}\,t-20=0.
Agora temos uma equação quadrática em t.

Passo 5

Resolvemos a quadrática t^{2}+\sqrt{20}\,t-20=0 usando a fórmula de Bhaskara:
t=\frac{-\sqrt{20}\pm\sqrt{(\sqrt{20})^{2}-4\cdot 1\cdot(-20)}}{2} =\frac{-\sqrt{20}\pm\sqrt{20+80}}{2} =\frac{-\sqrt{20}\pm\sqrt{100}}{2}.
Como \sqrt{100}=10 e precisamos de t\ge 0, escolhemos o sinal +:
t=\frac{-\sqrt{20}+10}{2}.
Observando que \sqrt{20}=2\sqrt{5}, temos
t=\frac{10-2\sqrt{5}}{2}=5-\sqrt{5}.
Lembrando que x=t^{2}, obtemos
x=(5-\sqrt{5})^{2}=25-10\sqrt{5}+5=30-10\sqrt{5}=10(3-\sqrt{5}).
Assim a área da base menor é A_{2}=10(3-\sqrt{5})\\ \mathrm{m}^2 (aprox. 7{,}639\\ \mathrm{m}^2).

Passo 6

Agora relacionamos áreas e lados de hexágonos regulares. Para um hexágono regular de lado s a área é
A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,s^{2}.
Para duas figuras semelhantes (aqui os dois hexágonos regulares) as áreas escalonam com o quadrado dos lados. Portanto, se s_{1} é o lado da base maior e s_{2} o lado da base menor,
\frac{A_{2}}{A_{1}}=\left(\frac{s_{2}}{s_{1}}\right)^{2}.
Queremos \dfrac{s_{2}}{s_{1}}, então
\frac{s_{2}}{s_{1}}=\sqrt{\frac{A_{2}}{A_{1}}}.

Passo 7

Substituímos A_{1}=20 e A_{2}=10(3-\sqrt{5}):
\frac{s_{2}}{s_{1}}=\sqrt{\frac{10(3-\sqrt{5})}{20}}=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}.
Agora simplificamos essa raiz: note que
\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}=\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.
Como \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}>0, obtemos
\frac{s_{2}}{s_{1}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.

Passo 8

Conclusão prática: o lado do hexágono da base menor é \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} vezes o lado da base maior. Numericamente essa razão é aproximadamente 0{,}618. Força aí — você já tem a relação exata e a aproximada para usar na prova!

Resposta

\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}

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