Se w=f(x, y, z), onde f é uma função diferenciável, e
  • x=g(t),
  • y=h(t),
  • z=\ell(t),
  • f_{x}(2,7,-1)=6,
  • g(3)=2,
  • h(3)=7,
  • \ell(3)=-1,
  • f_{y}(2,7,-1)=-8,
  • g^{\prime}(3)=5,
  • h^{\prime}(3)=-4,
  • \ell^{\prime}(3)=2,
  • f_{z}(2,7,-1)=1,
    determine d z / d t quando t=3.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • A função w=f(x,y,z) é diferenciável.
  • x=g(t).
  • y=h(t).
  • z=\ell(t).
  • f_{x}(2,7,-1)=6.
  • f_{y}(2,7,-1)=-8.
  • f_{z}(2,7,-1)=1.
  • g(3)=2.
  • h(3)=7.
  • \ell(3)=-1.
  • g^{\prime}(3)=5.
  • h^{\prime}(3)=-4.
  • \ell^{\prime}(3)=2.
Pergunta do enunciado:
  • Determinar \dfrac{dz}{dt} quando t=3.

Passo 2

Entendendo o que é pedido e as regras básicas. Aqui z é dada explicitamente como função de t: z(t)=\ell(t). Quando uma variável (aqui z) é definida por uma função de t, a derivada de z em relação a t é simplesmente a derivada dessa função.
Explicando de forma bem direta e didática:
  • Se z(t)=\ell(t), então a taxa de variação de z em relação a t é
\frac{dz}{dt}=\ell'(t).
O símbolo \ell'(t) significa "a derivada da função \ell em t", ou seja, a taxa instantânea de variação de \ell naquele ponto.
Observação pedagógica (útil na prova): isso é diferente de problemas onde se pede \dfrac{dw}{dt}. Para \dfrac{dw}{dt} seria necessário usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
\frac{dw}{dt}=f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt}+f_z\frac{dz}{dt},
onde cada termo é o produto da derivada parcial de f pela taxa de variação da variável correspondente. Mas aqui só pedem \dfrac{dz}{dt}, o que é mais simples porque z já é \ell(t).

Passo 3

Aplicando a fórmula direta obtida:
\frac{dz}{dt}=\ell'(t).
Isso significa que, para avaliar \dfrac{dz}{dt} em t=3, basta avaliar \ell'(3).

Passo 4

Usando o valor dado no enunciado: foi fornecido que \ell'(3)=2. Portanto
\frac{dz}{dt}\Bigg|_{t=3}=\ell'(3)=2.

Passo 5

Breve reforço (para você fixar a ideia): se a pergunta em vez de \dfrac{dz}{dt} tivesse sido \dfrac{dw}{dt}, com os dados fornecidos nós faríamos
\frac{dw}{dt}\Bigg|_{t=3}=f_x(2,7,-1)\,g'(3)+f_y(2,7,-1)\,h'(3)+f_z(2,7,-1)\,\ell'(3).
Substituindo os números dados:
\frac{dw}{dt}\Bigg|_{t=3}=6\cdot5+(-8)\cdot(-4)+1\cdot2=30+32+2=64.
Só um exemplo para ver como os vários dados do enunciado se encaixam quando a pergunta pede a derivada de w.

Resposta

\dfrac{dz}{dt}\Big|_{t=3}=2

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