Se w=f(x, y, z), onde f é uma função diferenciável, e
x=g(t),
y=h(t),
z=\ell(t),
f_{x}(2,7,-1)=6,
g(3)=2,
h(3)=7,
\ell(3)=-1,
f_{y}(2,7,-1)=-8,
g^{\prime}(3)=5,
h^{\prime}(3)=-4,
\ell^{\prime}(3)=2,
f_{z}(2,7,-1)=1,
determine d z / d t quando t=3.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
A função w=f(x,y,z) é diferenciável.
x=g(t).
y=h(t).
z=\ell(t).
f_{x}(2,7,-1)=6.
f_{y}(2,7,-1)=-8.
f_{z}(2,7,-1)=1.
g(3)=2.
h(3)=7.
\ell(3)=-1.
g^{\prime}(3)=5.
h^{\prime}(3)=-4.
\ell^{\prime}(3)=2.
Pergunta do enunciado:
Determinar \dfrac{dz}{dt} quando t=3.
Passo 2
Entendendo o que é pedido e as regras básicas. Aqui z é dada explicitamente como função de t: z(t)=\ell(t). Quando uma variável (aqui z) é definida por uma função de t, a derivada de z em relação a t é simplesmente a derivada dessa função.
Explicando de forma bem direta e didática:
Se z(t)=\ell(t), então a taxa de variação de z em relação a t é
\frac{dz}{dt}=\ell'(t).
O símbolo \ell'(t) significa "a derivada da função \ell em t", ou seja, a taxa instantânea de variação de \ell naquele ponto.
Observação pedagógica (útil na prova): isso é diferente de problemas onde se pede \dfrac{dw}{dt}. Para \dfrac{dw}{dt} seria necessário usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
onde cada termo é o produto da derivada parcial de f pela taxa de variação da variável correspondente. Mas aqui só pedem \dfrac{dz}{dt}, o que é mais simples porque z já é \ell(t).
Passo 3
Aplicando a fórmula direta obtida:
\frac{dz}{dt}=\ell'(t).
Isso significa que, para avaliar \dfrac{dz}{dt} em t=3, basta avaliar \ell'(3).
Passo 4
Usando o valor dado no enunciado: foi fornecido que \ell'(3)=2. Portanto
\frac{dz}{dt}\Bigg|_{t=3}=\ell'(3)=2.
Passo 5
Breve reforço (para você fixar a ideia): se a pergunta em vez de \dfrac{dz}{dt} tivesse sido \dfrac{dw}{dt}, com os dados fornecidos nós faríamos