Se
e
são sub- espaços de um mesmo espaço vetorial
é um subespaço de V? Demonstre ou dê um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado pergunta: dadas subespaços
e
de um mesmo espaço vetorial
, a união
é um subespaço de
?
Informações dadas:
Informações dadas:
-
e são subespaços de . Ou seja, e . - A pergunta pede que se demonstre a afirmação ou que se dê um contra-exemplo (ou seja, mostrar quando vale e, se não valer em geral, apresentar um exemplo explícito onde não vale).
Passo 2
Relembrando a definição (passo didático): o que significa ser subespaço? Vou explicar devagarinho, como se estivéssemos estudando juntos.
- Um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades (mas na prática bastam duas se já sabemos que é não-vazio): -
contém o vetor zero de . -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e é escalar então .
-
Explicando as variáveis: aqui
são vetores em
e
é um escalar (do corpo sobre o qual o espaço vetorial está definido, por exemplo
). Essas propriedades são fáceis de checar nos subespaços.
Passo 3
Primeira observação simples (caso em que a união é subespaço): se um dos subespaços está contido no outro, então a união é um subespaço. Vou mostrar isso claramente.
Suponha
. Então
e como
é subespaço, a união é subespaço. O mesmo raciocínio vale se
. Portanto, se um está contido no outro, a união é subespaço (porque é exatamente o maior deles).
Passo 4
Agora a parte crucial: mostrar que, se a união
for subespaço, então necessariamente um dos subespaços está contido no outro. Ou seja, provar a condição necessária — isso nos dará uma caracterização “se e somente se”.
Prova por contradição: suponha que nenhum está contido no outro; isto é, existam vetores
Como
é assumido subespaço, ele é fechado sob adição, então
. Isso significa que ou
ou
. Vou ver que cada alternativa dá contradição:
-
Se
, então como e é subespaço (logo fechado sob soma e diferença), temos Isso contraria a escolha de(que foi em ). Logo essa hipótese é impossível. -
Se
, de maneira análoga, já que e é subespaço, temos contradizendo a escolha de(que era em ). Também impossível.
Portanto a suposição inicial (existência simultânea de
e
fora do outro espaço) leva a contradição. Conclui-se que não podem existir tais
e
; assim, ou
ou
.
Juntando com o passo anterior, obtém-se a caracterização completa:
Passo 5
Contra-exemplo concreto (bem didático, para deixar a intuição firme):
Escolha
. Seja
e
Ambos são subespaços de
. Nenhum está contido no outro (por exemplo
mas
;
mas
).
Considere a soma
O vetor
não pertence nem a
nem a
, logo não pertence a
. Portanto
não é fechado sob adição e assim não é subespaço. Este é um contra-exemplo óbvio e bem conhecido.
Passo 6
Resumo (intuição): a união de subespaços “não mistura” bem vetores de diferentes direções, pois somar um vetor de
com outro de
pode sair da união. A única forma de a união ser um subespaço é quando ela já é um dos subespaços (ou seja, quando um está contido no outro).
Resposta
Não, em geral não.
é subespaço de
se, e somente se,
ou
.