Se W_{1} e W_{2} são sub- espaços de um mesmo espaço vetorial V, W_{1} U W_{2} é um subespaço de V? Demonstre ou dê um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta: dadas subespaços W_{1} e W_{2} de um mesmo espaço vetorial V, a união W_{1}\cup W_{2} é um subespaço de V?
Informações dadas:
  • W_{1} e W_{2} são subespaços de V. Ou seja, W_{1}\subseteq V e W_{2}\subseteq V.
  • A pergunta pede que se demonstre a afirmação ou que se dê um contra-exemplo (ou seja, mostrar quando vale e, se não valer em geral, apresentar um exemplo explícito onde não vale).

Passo 2

Relembrando a definição (passo didático): o que significa ser subespaço? Vou explicar devagarinho, como se estivéssemos estudando juntos.
  • Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades (mas na prática bastam duas se já sabemos que W é não-vazio):
    1. W contém o vetor zero de V.
    2. W é fechado sob adição: se u,v\in W então u+v\in W.
    3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \alpha é escalar então \alpha u\in W.
Explicando as variáveis: aqui u,v são vetores em V e \alpha é um escalar (do corpo sobre o qual o espaço vetorial está definido, por exemplo \mathbb{R}). Essas propriedades são fáceis de checar nos subespaços.

Passo 3

Primeira observação simples (caso em que a união é subespaço): se um dos subespaços está contido no outro, então a união é um subespaço. Vou mostrar isso claramente.
Suponha W_{1}\subseteq W_{2}. Então
W_{1}\cup W_{2}=W_{2},
e como W_{2} é subespaço, a união é subespaço. O mesmo raciocínio vale se W_{2}\subseteq W_{1}. Portanto, se um está contido no outro, a união é subespaço (porque é exatamente o maior deles).

Passo 4

Agora a parte crucial: mostrar que, se a união W_{1}\cup W_{2} for subespaço, então necessariamente um dos subespaços está contido no outro. Ou seja, provar a condição necessária — isso nos dará uma caracterização “se e somente se”.
Prova por contradição: suponha que nenhum está contido no outro; isto é, existam vetores
u\in W_{1}\setminus W_{2}\quad\text{e}\quad v\in W_{2}\setminus W_{1}.
Como W_{1}\cup W_{2} é assumido subespaço, ele é fechado sob adição, então u+v\in W_{1}\cup W_{2}. Isso significa que ou u+v\in W_{1} ou u+v\in W_{2}. Vou ver que cada alternativa dá contradição:
  • Se u+v\in W_{1}, então como u\in W_{1} e W_{1} é subespaço (logo fechado sob soma e diferença), temos
    v = (u+v)-u \in W_{1}.
    Isso contraria a escolha de v (que foi em W_{2}\setminus W_{1}). Logo essa hipótese é impossível.
  • Se u+v\in W_{2}, de maneira análoga, já que v\in W_{2} e W_{2} é subespaço, temos
    u = (u+v)-v \in W_{2},
    contradizendo a escolha de u (que era em W_{1}\setminus W_{2}). Também impossível.
Portanto a suposição inicial (existência simultânea de u e v fora do outro espaço) leva a contradição. Conclui-se que não podem existir tais u e v; assim, ou W_{1}\subseteq W_{2} ou W_{2}\subseteq W_{1}.
Juntando com o passo anterior, obtém-se a caracterização completa:
W_{1}\cup W_{2}\\ \text{é subespaço de }V\quad\Longleftrightarrow\quad W_{1}\subseteq W_{2}\\ \text{ou}\\ W_{2}\subseteq W_{1}.éç

Passo 5

Contra-exemplo concreto (bem didático, para deixar a intuição firme):
Escolha V=\mathbb{R}^2. Seja
W_{1}=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}\quad\text{(o eixo }x\text{)}
e
W_{2}=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}\quad\text{(o eixo }y\text{).}
Ambos são subespaços de \mathbb{R}^2. Nenhum está contido no outro (por exemplo (1,0)\in W_{1} mas (1,0)\notin W_{2}; (0,1)\in W_{2} mas (0,1)\notin W_{1}).
Considere a soma
(1,0)+(0,1)=(1,1).
O vetor (1,1) não pertence nem a W_{1} nem a W_{2}, logo não pertence a W_{1}\cup W_{2}. Portanto W_{1}\cup W_{2} não é fechado sob adição e assim não é subespaço. Este é um contra-exemplo óbvio e bem conhecido.

Passo 6

Resumo (intuição): a união de subespaços “não mistura” bem vetores de diferentes direções, pois somar um vetor de W_{1} com outro de W_{2} pode sair da união. A única forma de a união ser um subespaço é quando ela já é um dos subespaços (ou seja, quando um está contido no outro).

Resposta

Não, em geral não. W_{1}\cup W_{2} é subespaço de V se, e somente se, W_{1}\subseteq W_{2} ou W_{2}\subseteq W_{1}.

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