Verifique se W é um sub-espaço vetorial de V nos casos:
\mathrm{W}=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in \mathbf{R}^{2} ; \mathrm{x}+\mathrm{y} \in \mathbf{Q}\right\} e \mathrm{V}=\mathbf{R}^{2}

Passo 1

O enunciado dá o espaço ambiente V=\mathbb{R}^{2} e o subconjunto
W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\;|\;x+y\in\mathbb{Q}\}.
A pergunta é: W é um subespaço vetorial de V?
Informações relevantes que temos:
  • Todo vetor em W é um par (x,y) com a soma x+y racional.
  • O corpo dos escalares é \mathbb{R} (pois V=\mathbb{R}^{2}).
  • Para decidir se W é subespaço, devemos verificar as propriedades exigidas pela definição de subespaço (ver passo seguinte).

Passo 2

Definição e o que vamos checar (aula rápida): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se, e somente se,
  1. W contém o vetor zero de V; ou equivalentemente W\neq\varnothing e contém 0;
  2. W é fechado sob adição: para quaisquer u,v\in W, tem-se u+v\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R} e qualquer v\in W, tem-se \alpha v\in W.
Explicando as variáveis: u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2) são vetores em \mathbb{R}^2; \alpha é um número real qualquer. Vou checar os três itens acima, pois são condições necessárias e suficientes.

Passo 3

Verificar se W contém o vetor zero.
O vetor zero em \mathbb{R}^2 é (0,0). A soma das coordenadas é 0+0=0 e 0\in\mathbb{Q}. Portanto (0,0)\in W. Logo W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 4

Verificar fechamento por adição (passo a passo didático).
Sejam u=(x_1,y_1)\in W e v=(x_2,y_2)\in W. Por hipótese temos (x_1+y_1)\in\mathbb{Q} e (x_2+y_2)\in\mathbb{Q}. Então a soma dos vetores é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
A soma das coordenadas do vetor u+v é
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2).
Como \mathbb{Q} é fechado sob adição, a soma de dois números racionais é racional; portanto (x_1+y_1)+(x_2+y_2)\in\mathbb{Q}. Assim u+v\in W. Conclusão: W é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar (a parte crítica).
Seja v=(x,y)\in W, ou seja x+y\in\mathbb{Q}. Tome um escalar arbitrário \alpha\in\mathbb{R}. O vetor escalado é
\alpha v=(\alpha x,\;\alpha y).
A soma das coordenadas de \alpha v é
\alpha x+\alpha y=\alpha(x+y).
Para que \alpha v\in W precisamos que \alpha(x+y)\in\mathbb{Q}. Se \alpha for racional, o produto de um racional por outro racional é racional, então nesse caso \alpha(x+y)\in\mathbb{Q}. Mas o escalar \alpha pode ser qualquer real; se \alpha for irracional, \alpha(x+y) pode deixar de ser racional.
Vou dar um contraexemplo explícito (um único contraexemplo basta para mostrar que a propriedade falha). Considere o vetor
v=(1,0).
Temos 1+0=1\in\mathbb{Q}, logo v\in W. Agora escolha o escalar \alpha=\sqrt{2}, que é um número real e é conhecido que \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. (Prova curta: suponha \sqrt{2}=p/q com p,q\in\mathbb{Z} coprimos; então 2q^2=p^2 implica p par, logo q também par — contradição; logo \sqrt{2} não é racional.) Então
\alpha v=(\sqrt{2},0)
e a soma das coordenadas é \sqrt{2}+0=\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. Portanto \alpha v\notin W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalares reais.

Passo 6

Conclusão final do raciocínio: W satisfaz conter o vetor zero e é fechado sob adição, mas falha em ser fechado sob multiplicação escalar (existem escalares reais, por exemplo \sqrt{2}, que ao multiplicarem um vetor de W produzem um vetor fora de W). Como uma das condições da definição de subespaço não é satisfeita, W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

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