Verifique se
é um sub-espaço vetorial de
nos casos:
e
Passo 1
O enunciado dá o espaço ambiente
e o subconjunto
A pergunta é:
é um subespaço vetorial de
?
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Todo vetor em
é um par com a soma racional. - O corpo dos escalares é
(pois ). - Para decidir se
é subespaço, devemos verificar as propriedades exigidas pela definição de subespaço (ver passo seguinte).
Passo 2
Definição e o que vamos checar (aula rápida): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se, e somente se,
-
contém o vetor zero de ; ou equivalentemente e contém ; -
é fechado sob adição: para quaisquer , tem-se ; -
é fechado sob multiplicação escalar: para qualquer escalar e qualquer , tem-se .
Explicando as variáveis:
,
são vetores em
;
é um número real qualquer. Vou checar os três itens acima, pois são condições necessárias e suficientes.
Passo 3
Verificar se
contém o vetor zero.
O vetor zero em é
. A soma das coordenadas é
e
. Portanto
. Logo
não é vazio e contém o vetor zero.
O vetor zero em
Passo 4
Verificar fechamento por adição (passo a passo didático).
Sejam e
. Por hipótese temos
e
. Então a soma dos vetores é
Sejam
A soma das coordenadas do vetor
é
Como
é fechado sob adição, a soma de dois números racionais é racional; portanto
. Assim
. Conclusão:
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar (a parte crítica).
Seja , ou seja
. Tome um escalar arbitrário
. O vetor escalado é
Seja
A soma das coordenadas de
é
Para que
precisamos que
. Se
for racional, o produto de um racional por outro racional é racional, então nesse caso
. Mas o escalar
pode ser qualquer real; se
for irracional,
pode deixar de ser racional.
Vou dar um contraexemplo explícito (um único contraexemplo basta para mostrar que a propriedade falha). Considere o vetor
Temos
, logo
. Agora escolha o escalar
, que é um número real e é conhecido que
. (Prova curta: suponha
com
coprimos; então
implica
par, logo
também par — contradição; logo
não é racional.) Então
e a soma das coordenadas é
. Portanto
. Isso mostra que
não é fechado sob multiplicação por escalares reais.
Passo 6
Conclusão final do raciocínio:
satisfaz conter o vetor zero e é fechado sob adição, mas falha em ser fechado sob multiplicação escalar (existem escalares reais, por exemplo
, que ao multiplicarem um vetor de
produzem um vetor fora de
). Como uma das condições da definição de subespaço não é satisfeita,
não é subespaço vetorial de
.