Se w=x^{2} y^{3} \sin z+e^{x z}, ache \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y} e \frac{\partial w}{\partial z}

Passo 1

O enunciado dá a função
w = x^{2}y^{3}\sin z + e^{xz}
e pede as derivadas parciais \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y} e \frac{\partial w}{\partial z}. Vamos usar as regras de derivação parcial: ao derivar em relação a uma variável, as demais são tratadas como constantes.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial w}{\partial x}, mantemos y e z constantes.
  • No termo x^{2}y^{3}\sin z, uso a regra do produto em x^{2}:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{3}\sin z) = 2x\,y^{3}\sin z.
  • No termo e^{xz}, uso a derivada de e^{u} com u=xz e a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}(e^{xz}) = z\,e^{xz}.
Portanto,
\frac{\partial w}{\partial x} = 2x\,y^{3}\sin z + z\,e^{xz}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial w}{\partial y}, mantemos x e z constantes.
  • O termo x^{2}y^{3}\sin z em y dá:
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y^{3}\sin z) = x^{2}\cdot 3y^{2}\sin z = 3x^{2}y^{2}\sin z.
  • O termo e^{xz} não depende de y, logo sua derivada é zero.
    Assim,
\frac{\partial w}{\partial y} = 3x^{2}y^{2}\sin z.

Passo 4

Para calcular \frac{\partial w}{\partial z}, mantemos x e y constantes.
  • No termo x^{2}y^{3}\sin z, uso a derivada de \sin z:
\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}y^{3}\sin z) = x^{2}y^{3}\cos z.
  • No termo e^{xz}, uso a regra da cadeia com u = xz:
\frac{\partial}{\partial z}(e^{xz}) = x\,e^{xz}.
Logo,
\frac{\partial w}{\partial z} = x^{2}y^{3}\cos z + x\,e^{xz}.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x} = 2x\,y^{3}\sin z + z\,e^{xz}, \qquad \frac{\partial w}{\partial y} = 3x^{2}y^{2}\sin z, \qquad \frac{\partial w}{\partial z} = x^{2}y^{3}\cos z + x\,e^{xz}.

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