Calcule as integrais de linha em campo escalar:
\int_{C} 3 x^{5} y d s; em que C é a metade superior do círculo x^{2}+y^{2}=8.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de campo escalar
\int_{C}3x^{5}y\,ds
onde C é a meia-circunferência superior de raio \sqrt{8}=2\sqrt{2}. Para resolver, vamos parametrizar C e usar ds=\sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^{2}}\,dt.

Passo 2

Parametrizamos a meia-circunferência superior por
x(t)=2\sqrt{2}\cos t,\quad y(t)=2\sqrt{2}\sin t,
com t variando de 0 a \pi.

Passo 3

Calculamos ds. Como
\frac{dx}{dt}=-2\sqrt{2}\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=2\sqrt{2}\cos t,
temos
ds =\sqrt{(-2\sqrt{2}\sin t)^{2}+(2\sqrt{2}\cos t)^{2}}\,dt =2\sqrt{2}\,dt.
Então o integrando fica
3x^{5}y\,ds =3\bigl(2\sqrt{2}\cos t\bigr)^{5}\bigl(2\sqrt{2}\sin t\bigr)\bigl(2\sqrt{2}\,dt\bigr).

Passo 4

Agrupando constantes:
(2\sqrt{2})^{5}\,(2\sqrt{2})\,(2\sqrt{2}) =(2\sqrt{2})^{7} =1024\sqrt{2}.
Logo a integral torna-se
\int_{0}^{\pi}3\cdot1024\sqrt{2}\,\cos^{5}t\sin t\,dt =3072\sqrt{2}\int_{0}^{\pi}\cos^{5}t\sin t\,dt.

Passo 5

Para calcular
\displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos^{5}t\sin t\,dt
fazemos u=\cos t, du=-\sin t\,dt, com u(0)=1, u(\pi)=-1. Então
\int_{0}^{\pi}\cos^{5}t\sin t\,dt =\int_{1}^{-1}u^{5}(-du) =\int_{-1}^{1}u^{5}du =0
pois u^{5} é função ímpar em [-1,1].

Resposta

\displaystyle 0

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