W360
- Sabendo que uma viga de aço laminado
está sujeita a um cisalhamento vertical de
, determine a tensão de cisalhamento (a) no ponto
, e (b) no centroide
da seção.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Tipo de viga:
. - Altura total:
. - Largura da mesa (flange):
. - Espessura da mesa:
. - Espessura da alma (web):
. - Momento de inércia:
. - Cisalhamento vertical aplicado:
.
O enunciado pede:
(a) determinar a tensão de cisalhamento no ponto da seção;
(b) determinar a tensão de cisalhamento no centroide da seção.
(a) determinar a tensão de cisalhamento no ponto
(b) determinar a tensão de cisalhamento no centroide
Observação sobre posições: a imagem mostra o ponto
localizado na mesa superior da viga (seta indicando 105 mm medidos na flange), e o ponto
no centroide da seção. (Detalhes extraídos da imagem listados na seção
Passo 2
Princípio e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e bem mastigadas).
- A fórmula clássica da resistência dos materiais para tensão de cisalhamento média em uma secção transversal é
onde:
-
é a tensão de cisalhamento no ponto considerado (unidade: N/mm ou MPa), -
é a força cortante vertical aplicada (N), -
é o primeiro momento de área da porção da seção que está, por exemplo, “acima” do plano que passa pelo ponto considerado, calculado em relação ao eixo neutro (unidade: mm ), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (mm ), -
é a largura (espessura) da peça atravessada pelo plano de corte no ponto considerado (mm) — para ponto na mesa usa-se , para ponto na alma usa-se .
Explicação de
(muito importante):
-
é definido como , onde a integração é feita sobre a área da parte da seção que está, por exemplo, acima do plano horizontal que passa pelo ponto onde se quer , e é a distância dessa área até o eixo neutro. Na prática calculamos somando produtos de retângulos conhecidos (flanges, partes da alma).
Unidade e consistência:
- Vou trabalhar em milímetros e newtons:
, em mm , áreas em mm , em mm . O resultado vem em N/mm que é MPa.
Passo 3
Posições verticais relevantes e áreas elementares (calcular distâncias do eixo neutro para as centroides das peças).
- Para esta viga simétrica o eixo neutro fica no centro geométrico, então a distância do eixo neutro até a face superior é
- Distância do eixo neutro até a centróide da mesa (centro de espessura da mesa):
Áreas:
- Área de uma mesa (flange):
- Altura útil da alma (entre as mesas):
- Área da alma:
Passo 4
Cálculo de
no ponto
(topo da mesa superior, ponto dentro da flange).
- Observação pedagógica: a fórmula usa a espessura
do elemento atravessado pelo cisalhamento. Para um ponto dentro da mesa superior usamos . - Precisamos do
relativo à parte da seção “acima” do plano que passa pelo ponto. Pelo desenho o ponto está dentro da mesa superior; uma escolha comum e conservadora (e compatível com o ponto marcado) é tomar o plano horizontal passando pelo centro da espessura da mesa superior (ou seja, posição média dentro da mesa). Assim a área acima desse plano é a metade superior da mesa (retângulo de largura e altura ). (Explicação: se o ponto está no meio da espessura da mesa, apenas a metade superior da mesa fica acima do plano; não há outras áreas acima.) - Área da metade superior da mesa:
- Distância entre o eixo neutro e o centróide dessa metade superior (centro do retângulo): é a distância até o centro da metade, ou seja
- Primeiro momento
para o ponto :
(Cálculo passo a passo:
foi realizado por decomposição em
.)
- Agora aplicamos a fórmula da tensão de cisalhamento na mesa:
Substituindo números (usar
,
,
):
Fazendo as contas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Resultado:
Comentário didático: a tensão de cisalhamento na mesa é relativamente baixa porque a maior parte do esforço cortante é levada pela alma; a mesa só participa com uma pequena área (daí
pequeno).
Passo 5
Cálculo de
no centroide
(na alma, no eixo neutro).
- Para o ponto no eixo neutro, a área “acima” do plano que passa por
é toda a metade superior da seção: isso corresponde à mesa superior inteira mais metade da alma. - Área da mesa superior (inteira):
(já calculada). - Metade da área da alma:
. - Centróide da mesa superior em relação ao neutro:
(já calculado). - Centróide da metade superior da alma: a metade superior da alma tem altura
, então seu centróide está a metade disso acima do neutro:
- Primeiro momento
(soma das contribuições):
Substituindo:
- Agora aplicar a fórmula da tensão no centroide. Neste ponto a espessura atravessada é a da alma, então
:
Fazendo as contas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Resultado:
Comentário didático: a alma, por ter pouca largura
e por estar próxima ao eixo neutro em termos de
significativo, carrega a maior parte do cisalhamento, daí um
bem maior em
que em
.
Resposta
(a)
(b)
(b)