W360 \times 122, d=363 \mathrm{~mm}, b_{F}=257 \mathrm{~mm}, t_{F}=21.70 \mathrm{~mm}, t_{w}=13.0 \mathrm{~mm} I=367 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4}=367 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{4}
  1. Sabendo que uma viga de aço laminado W 360 \times 122 está sujeita a um cisalhamento vertical de 250 k N, determine a tensão de cisalhamento (a) no ponto A, e (b) no centroide C da seção.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Tipo de viga: W360\times122.
  • Altura total: d=363\\ \text{mm}.
  • Largura da mesa (flange): b_F=257\\ \text{mm}.
  • Espessura da mesa: t_F=21{,}70\\ \text{mm}.
  • Espessura da alma (web): t_w=13{,}0\\ \text{mm}.
  • Momento de inércia: I=367\times10^{6}\\ \text{mm}^4.
  • Cisalhamento vertical aplicado: V=250\\ \text{kN}.
O enunciado pede:
(a) determinar a tensão de cisalhamento no ponto A da seção;
(b) determinar a tensão de cisalhamento no centroide C da seção.
Observação sobre posições: a imagem mostra o ponto A localizado na mesa superior da viga (seta indicando 105 mm medidos na flange), e o ponto C no centroide da seção. (Detalhes extraídos da imagem listados na seção

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e bem mastigadas).
  • A fórmula clássica da resistência dos materiais para tensão de cisalhamento média em uma secção transversal é
\tau=\frac{V\,Q}{I\,t},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento no ponto considerado (unidade: N/mm ^2 ou MPa),
  • V é a força cortante vertical aplicada (N),
  • Q é o primeiro momento de área da porção da seção que está, por exemplo, “acima” do plano que passa pelo ponto considerado, calculado em relação ao eixo neutro (unidade: mm ^3),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (mm ^4),
  • t é a largura (espessura) da peça atravessada pelo plano de corte no ponto considerado (mm) — para ponto na mesa usa-se t=t_F, para ponto na alma usa-se t=t_w.
Explicação de Q (muito importante):
  • Q é definido como Q=\displaystyle\int_A y\,dA, onde a integração é feita sobre a área da parte da seção que está, por exemplo, acima do plano horizontal que passa pelo ponto onde se quer \tau, e y é a distância dessa área até o eixo neutro. Na prática calculamos Q somando produtos A_i\cdot y_{i} de retângulos conhecidos (flanges, partes da alma).
Unidade e consistência:
  • Vou trabalhar em milímetros e newtons: V=250\\ \text{kN}=250000\\ \text{N}, I em mm ^4, áreas em mm ^2, Q em mm ^3. O resultado \tau vem em N/mm ^2 que é MPa.

Passo 3

Posições verticais relevantes e áreas elementares (calcular distâncias do eixo neutro para as centroides das peças).
  • Para esta viga simétrica o eixo neutro fica no centro geométrico, então a distância do eixo neutro até a face superior é
\frac{d}{2}=\frac{363}{2}=181{,}5\\ \text{mm}.
  • Distância do eixo neutro até a centróide da mesa (centro de espessura da mesa):
y_{f}=\frac{d}{2}-\frac{t_F}{2}=181{,}5-\frac{21{,}70}{2}=181{,}5-10{,}85=170{,}65\\ \text{mm}.
Áreas:
  • Área de uma mesa (flange):
A_F=b_F\cdot t_F=257\cdot21{,}70=5576{,}9\\ \text{mm}^2.
  • Altura útil da alma (entre as mesas):
h_w=d-2t_F=363-2\cdot21{,}70=363-43{,}4=319{,}6\\ \text{mm}.
  • Área da alma:
A_w=t_w\cdot h_w=13{,}0\cdot319{,}6=4154{,}8\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Cálculo de \tau no ponto A (topo da mesa superior, ponto dentro da flange).
  • Observação pedagógica: a fórmula usa a espessura t do elemento atravessado pelo cisalhamento. Para um ponto dentro da mesa superior usamos t=t_F=21{,}70\\ \text{mm}.
  • Precisamos do Q relativo à parte da seção “acima” do plano que passa pelo ponto. Pelo desenho o ponto A está dentro da mesa superior; uma escolha comum e conservadora (e compatível com o ponto marcado) é tomar o plano horizontal passando pelo centro da espessura da mesa superior (ou seja, posição média dentro da mesa). Assim a área acima desse plano é a metade superior da mesa (retângulo de largura b_F e altura t_F/2). (Explicação: se o ponto está no meio da espessura da mesa, apenas a metade superior da mesa fica acima do plano; não há outras áreas acima.)
  • Área da metade superior da mesa:
A_{1}=b_F\cdot\frac{t_F}{2}=257\cdot10{,}85=2788{,}45\\ \text{mm}^2.
  • Distância entre o eixo neutro e o centróide dessa metade superior (centro do retângulo): é a distância até o centro da metade, ou seja
\bar{y}_1=\frac{d}{2}-\frac{t_F}{4}=181{,}5-\frac{21{,}70}{4}=181{,}5-5{,}425=176{,}075\\ \text{mm}.
  • Primeiro momento Q para o ponto A:
Q_A=A_{1}\cdot\bar{y}_1=2788{,}45\cdot176{,}075\approx490976{,}3\\ \text{mm}^3.
(Cálculo passo a passo: 2788{,}45\cdot176{,}075 foi realizado por decomposição em 176+0{,}075.)
  • Agora aplicamos a fórmula da tensão de cisalhamento na mesa:
\tau_A=\frac{V\,Q_A}{I\,t_F}.
Substituindo números (usar V=250000\\ \text{N}, I=367\times10^{6}\\ \text{mm}^4, t_F=21{,}70\\ \text{mm}):
\tau_A=\frac{250000\cdot490976{,}3}{367\times10^{6}\cdot21{,}70}.
Fazendo as contas:
  • Numerador: 250000\cdot490976{,}3\approx1{,}227440825\times10^{11}.
  • Denominador: 367\times10^{6}\cdot21{,}70=7{,}963{,}9\times10^{9}.
  • Resultado:
\tau_A\approx15{,}4\\ \text{N/mm}^2=15{,}4\\ \text{MPa}.
Comentário didático: a tensão de cisalhamento na mesa é relativamente baixa porque a maior parte do esforço cortante é levada pela alma; a mesa só participa com uma pequena área (daí Q pequeno).

Passo 5

Cálculo de \tau no centroide C (na alma, no eixo neutro).
  • Para o ponto no eixo neutro, a área “acima” do plano que passa por C é toda a metade superior da seção: isso corresponde à mesa superior inteira mais metade da alma.
  • Área da mesa superior (inteira): A_F=5576{,}9\\ \text{mm}^2 (já calculada).
  • Metade da área da alma: \displaystyle\frac{A_w}{2}=\frac{4154{,}8}{2}=2077{,}4\\ \text{mm}^2.
  • Centróide da mesa superior em relação ao neutro: y_f=170{,}65\\ \text{mm} (já calculado).
  • Centróide da metade superior da alma: a metade superior da alma tem altura \displaystyle\frac{h_w}{2}=159{,}8\\ \text{mm}, então seu centróide está a metade disso acima do neutro:
y_{w}=\frac{159{,}8}{2}=79{,}9\\ \text{mm}.
  • Primeiro momento Q_C (soma das contribuições):
Q_C=A_F\cdot y_f+\frac{A_w}{2}\cdot y_{w}.
Substituindo:
Q_C=5576{,}9\cdot170{,}65+2077{,}4\cdot79{,}9\approx951697{,}99+165984{,}26\approx1{,}117{,}682{,}2\\ \text{mm}^3.
  • Agora aplicar a fórmula da tensão no centroide. Neste ponto a espessura atravessada é a da alma, então t=t_w=13{,}0\\ \text{mm}:
\tau_C=\frac{V\,Q_C}{I\,t_w}=\frac{250000\cdot1{,}117{,}682{,}2}{367\times10^{6}\cdot13{,}0}.
Fazendo as contas:
  • Numerador: 250000\cdot1{,}117{,}682{,}2\approx2{,}7942055\times10^{11}.
  • Denominador: 367\times10^{6}\cdot13=4{,}771\times10^{9}.
  • Resultado:
\tau_C\approx58{,}6\\ \text{N/mm}^2=58{,}6\\ \text{MPa}.
Comentário didático: a alma, por ter pouca largura t_w e por estar próxima ao eixo neutro em termos de Q significativo, carrega a maior parte do cisalhamento, daí um \tau bem maior em C que em A.

Resposta

(a) \tau_A=15{,}4\\ \text{MPa}
(b) \tau_C=58{,}6\\ \text{MPa}

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