Water has a surface tension of 72.75 dyne \cdot \mathrm{cm}^{-1} at 20^{\circ} \mathrm{C}. Calculate the minimum work that would be required to convert 1 \mathrm{dm}^{3} of water into droplets having a diameter of 1 \mu \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
  • Tensão superficial da água a 20^\circ\mathrm{C}: \gamma = 72{,}75\\ \mathrm{dyne\cdot cm^{-1}}.
  • Volume total de água a ser transformado: V = 1\\ \mathrm{dm^{3}}.
  • Diâmetro de cada gotícula: d = 1\\ \mu\mathrm{m}.
O que se pede: calcular o trabalho mínimo necessário para transformar todo esse volume de água em gotículas de diâmetro d.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (a parte teórica explicada de forma simples).
  • A tensão superficial \gamma mede a energia necessária para criar unidade de área de superfície entre líquido e ar. Assim, o trabalho mínimo para criar uma área de superfície adicional \Delta A é
W_{\min}=\gamma\,\Delta A.
Aqui \gamma tem unidades de energia por área (no sistema cgs: \mathrm{dyne\cdot cm^{-1}}=\mathrm{dyne\cdot cm^{-1}} e \mathrm{dyne\cdot cm}=10^{-7}\\ \mathrm{J}).
  • Portanto precisamos calcular a variação de área total quando o volume V é repartido em muitas esferas idênticas de diâmetro d. Se a água inicialmente está em uma única gota grande (ou em massa com área negligível comparada ao total final), então \Delta A é praticamente a área total das pequenas esferas. Vou calcular a área total das gotículas e subtrair a área inicial de uma esfera de volume V (que será muito pequena comparada à final).

Passo 3

Geometria das esferas e número de gotículas — desenvolver sem pular etapas.
  • Volume de uma gotícula (esfera) de diâmetro d:
v_{\text{gota}}=\frac{\pi}{6}\,d^{3}.
  • Número de gotículas:
N=\frac{V}{v_{\text{gota}}}=\frac{6V}{\pi d^{3}}.
  • Área de superfície de uma gotícula:
a_{\text{gota}}=\pi d^{2}
(porque área de uma esfera é 4\pi r^{2} com r=d/2, logo 4\pi (d/2)^{2}=\pi d^{2}).
  • Área total das gotículas:
A_{\text{total}}=N\cdot a_{\text{gota}}=\frac{6V}{\pi d^{3}}\cdot\pi d^{2}=\frac{6V}{d}.
Observação útil (economia de contas): a dependência simples A_{\text{total}}=6V/d evita calcular N explicitamente.

Passo 4

Converter unidades para trabalhar com \gamma em cgs e calcular A_{\text{total}}.
  • Converter o volume:
1\\ \mathrm{dm^{3}}=1000\\ \mathrm{cm^{3}}.
Logo V=1000\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Converter o diâmetro:
1\\ \mu\mathrm{m}=10^{-4}\\ \mathrm{cm}.
Logo d=10^{-4}\\ \mathrm{cm}.
  • Calcular A_{\text{total}} usando \;A_{\text{total}}=\dfrac{6V}{d}\;:
A_{\text{total}}=\frac{6\cdot 1000}{10^{-4}}=6{,}0\times 10^{7}\\ \mathrm{cm^{2}}.

Passo 5

Calcular e comparar a área inicial (uma única esfera de volume V) para ver se é desprezível.
  • Diâmetro D da esfera inicial satisfaz \dfrac{\pi}{6}D^{3}=V, logo D=\left(\dfrac{6V}{\pi}\right)^{1/3}.
  • Área inicial A_{\text{inicial}}=\pi D^{2}=\pi\left(\dfrac{6V}{\pi}\right)^{2/3}. Substituindo V=1000\\ \mathrm{cm^{3}} obtém-se numericamente A_{\text{inicial}}\approx 4,83\times 10^{2}\\ \mathrm{cm^{2}} (cálculo mostrado abaixo de forma direta):
\frac{6V}{\pi}=\frac{6000}{\pi}\approx 1909{,}86,
D\approx 12{,}405\\ \mathrm{cm},\qquad A_{\text{inicial}}=\pi D^{2}\approx 483{,}3\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Comparando com A_{\text{total}}=6{,}0\times 10^{7}\\ \mathrm{cm^{2}}, vemos que A_{\text{inicial}} é desprezível. Assim \Delta A\approx A_{\text{total}}=6{,}0\times 10^{7}\\ \mathrm{cm^{2}}.

Passo 6

Calcular o trabalho mínimo e converter para joules.
  • Trabalho em unidades cgs (dyne·cm) é
W=\gamma\,\Delta A\approx\gamma\,A_{\text{total}}=72{,}75\cdot 6{,}0\times 10^{7}\\ \mathrm{dyne\cdot cm}.
  • Calcule o produto:
W\approx 4{,}365\times 10^{9}\\ \mathrm{dyne\cdot cm}.
  • Converter dyne·cm para joule. Sabendo que 1\\ \mathrm{dyne}=10^{-5}\\ \mathrm{N} e 1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m}, tem-se 1\\ \mathrm{dyne\cdot cm}=10^{-7}\\ \mathrm{J}. Portanto
W\\ (\mathrm{J})=4{,}365\times 10^{9}\times 10^{-7}=4{,}365\times 10^{2}\\ \mathrm{J}=436{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo.
  • O trabalho mínimo necessário para converter 1\\ \mathrm{dm^{3}} de água em gotículas de 1\\ \mu\mathrm{m} de diâmetro é aproximadamente \;436{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Dica prática para prova: a identidade rápida A_{\text{total}}=6V/d para muitas esferas idênticas é uma forma salva-vidas — memorizando isso economiza bastante tempo nas contas.
  • Força! Isso dá uma noção de que criar muita superfície (gotículas muito pequenas) custa energia considerável — por isso a água tende a formar gotas grandes se possível.

Resposta

436,5 J

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