Water has a surface tension of 72.75 dyne
at
. Calculate the minimum work that would be required to convert
of water into droplets having a diameter of
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
- Tensão superficial da água a
: . - Volume total de água a ser transformado:
. - Diâmetro de cada gotícula:
.
O que se pede: calcular o trabalho mínimo necessário para transformar todo esse volume de água em gotículas de diâmetro
.
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (a parte teórica explicada de forma simples).
- A tensão superficial
mede a energia necessária para criar unidade de área de superfície entre líquido e ar. Assim, o trabalho mínimo para criar uma área de superfície adicional é
Aqui
tem unidades de energia por área (no sistema cgs:
e
).
- Portanto precisamos calcular a variação de área total quando o volume
é repartido em muitas esferas idênticas de diâmetro . Se a água inicialmente está em uma única gota grande (ou em massa com área negligível comparada ao total final), então é praticamente a área total das pequenas esferas. Vou calcular a área total das gotículas e subtrair a área inicial de uma esfera de volume (que será muito pequena comparada à final).
Passo 3
Geometria das esferas e número de gotículas — desenvolver sem pular etapas.
- Volume de uma gotícula (esfera) de diâmetro
:
- Número de gotículas:
- Área de superfície de uma gotícula:
(porque área de uma esfera é
com
, logo
).
- Área total das gotículas:
Observação útil (economia de contas): a dependência simples
evita calcular
explicitamente.
Passo 4
Converter unidades para trabalhar com
em cgs e calcular
.
- Converter o volume:
Logo
.
- Converter o diâmetro:
Logo
.
- Calcular
usando :
Passo 5
Calcular e comparar a área inicial (uma única esfera de volume
) para ver se é desprezível.
- Diâmetro
da esfera inicial satisfaz , logo . - Área inicial
. Substituindo obtém-se numericamente (cálculo mostrado abaixo de forma direta):
- Comparando com
, vemos que é desprezível. Assim .
Passo 6
Calcular o trabalho mínimo e converter para joules.
- Trabalho em unidades cgs (dyne·cm) é
- Calcule o produto:
- Converter dyne·cm para joule. Sabendo que
e , tem-se . Portanto
Passo 7
Interpretação final e incentivo.
- O trabalho mínimo necessário para converter
de água em gotículas de de diâmetro é aproximadamente . - Dica prática para prova: a identidade rápida
para muitas esferas idênticas é uma forma salva-vidas — memorizando isso economiza bastante tempo nas contas. - Força! Isso dá uma noção de que criar muita superfície (gotículas muito pequenas) custa energia considerável — por isso a água tende a formar gotas grandes se possível.
Resposta
436,5 J