Calculate the pressure exerted by 20 g of nitrogen in a closed 1-liter vessel at 25^{\circ} \mathrm{C}, using (b) the van der Waals equation. Repeat calculation for a vessel of 100 \mathrm{~cm}^{3} volume.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Massa de nitrogênio: 20\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura: 25^{\circ}\mathrm{C} (vai-se converter para kelvin).
  • Volumes pedidos: V_{1}=1{,}000\\ \mathrm{L} (isso é 1\\ \mathrm{L}) e V_{2}=100\\ \mathrm{cm^{3}}=0{,}100\\ \mathrm{L}.
  • Pedem a pressão usando a equação de van der Waals.
Constantes que usarei (valores usuais para \mathrm{N_{2}} em unidades compatíveis L–bar–mol–K):
  • Massa molar: M=28{,}02\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
  • Constante de van der Waals: a=1{,}370\\ \mathrm{L^{2}\,bar\,mol^{-2}}, b=0{,}0387\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
  • Constante dos gases: R=0{,}08314\\ \mathrm{L\,bar\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Converter temperatura: T=25^{\circ}\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
O que vou calcular: o número de mols n a partir da massa, e em seguida a pressão P para cada volume usando a equação de van der Waals.

Passo 2

Calcular o número de mols n.
n=\frac{\text{massa}}{M}=\frac{20}{28{,}02}=0{,}713776\\ \mathrm{mol}.
Expliquei: divide-se a massa dada pela massa molar para obter quantos mols de gás há no frasco.

Passo 3

Escrever a equação de van der Waals e isolar P.
Equação na forma usual:
\left(P + a\frac{n^{2}}{V^{2}}\right)(V - nb)=nRT.
Isolando P:
P=\frac{nRT}{V - nb} - a\frac{n^{2}}{V^{2}}.
Explicação dos termos:
  • \dfrac{nRT}{V-nb} é a parte análoga ao termo ideal nRT/V, corrigida por nb (volume ocupado pelas partículas).
  • a\frac{n^{2}}{V^{2}} é a correção subtraída devido às forças de atração intermoleculares (reduz a pressão efetiva).
Todas as quantidades devem estar em unidades compatíveis: V em \mathrm{L}, n em mol, R em \mathrm{L\,bar\,K^{-1}\,mol^{-1}}, a e b nas unidades indicadas.

Passo 4

Calcular nb (o volume efetivamente ocupado pelas moléculas).
nb=0{,}713776\times0{,}0387=0{,}027624\\ \mathrm{L}.
Comentário: esse valor é subtraído do volume total na fórmula.

Passo 5

Preparar nRT (produto n\cdot R\cdot T) que será usado em ambos os casos.
Primeiro R\cdot T:
R\cdot T=0{,}08314\times298{,}15=24{,}7882\\ \mathrm{L\,bar\,mol^{-1}}.
Agora nRT:
nRT=0{,}713776\times24{,}7882=17{,}6933\\ \mathrm{L\,bar}.

Passo 6

Calcular a pressão para V_{1}=1{,}000\\ \mathrm{L}.
  • Primeiro V_{1}-nb:
V_{1}-nb=1{,}000-0{,}027624=0{,}972376\\ \mathrm{L}.
  • Primeiro termo:
\frac{nRT}{V_{1}-nb}=\frac{17{,}6933}{0{,}972376}=18{,}1928\\ \mathrm{bar}.
  • Segundo termo (correção de atração):
a\frac{n^{2}}{V_{1}^{2}}=1{,}370\times(0{,}713776)^{2}=1{,}370\times0{,}50948=0{,}69799\\ \mathrm{bar}.
  • Pressão final:
P_{1}=18{,}1928-0{,}69799=17{,}4948\\ \mathrm{bar}.
Arredondando de forma conveniente: P_{1}\approx17{,}50\\ \mathrm{bar}.

Passo 7

Calcular a pressão para V_{2}=0{,}100\\ \mathrm{L} (igual a 100\\ \mathrm{cm^{3}}).
  • Primeiro V_{2}-nb:
V_{2}-nb=0{,}100-0{,}027624=0{,}072376\\ \mathrm{L}.
  • Primeiro termo:
\frac{nRT}{V_{2}-nb}=\frac{17{,}6933}{0{,}072376}=244{,}48\\ \mathrm{bar}.
  • Segundo termo (agora divide-se por V_{2}^{2}=(0{,}100)^{2}=0{,}01\\ \mathrm{L^{2}}):
a\frac{n^{2}}{V_{2}^{2}}=\frac{0{,}69799}{0{,}01}=69{,}799\\ \mathrm{bar}.
  • Pressão final:
P_{2}=244{,}48-69{,}799=174{,}68\\ \mathrm{bar}.
Arredondando: P_{2}\approx174{,}7\\ \mathrm{bar}.

Passo 8

Observações finais (didáticas e práticas):
  • A equação de van der Waals aproxima efeitos não ideais: reduz o volume livre ( V-nb) e subtrai uma correção de pressão ( a n^{2}/V^{2}). Isso melhora a previsão em relação ao gás ideal, especialmente a moderada pressões.
  • No caso do volume muito pequeno ( V=0{,}100\\ \mathrm{L}) a pressão calculada é muito alta ( \sim175\\ \mathrm{bar}). Em pressões tão elevadas podem aparecer efeitos adicionais (compressibilidade real mais complexa, possíveis liquefação, necessidade de equações de estado mais precisas). Portanto o valor é uma estimativa com a van der Waals; serve para entender ordem de grandeza, mas, em prática, medidas ou equações de estado mais precisas (ou tabelas) podem ser necessárias.
  • Força para continuar: é normal que valores pareçam grandes quando o volume diminui muito — a física do gás fica bem não-ideal nessa região. Você está indo bem ao acompanhar passo a passo.

Resposta

P(V=1{,}000\\ \mathrm{L})=17{,}4948\\ \mathrm{bar} \approx17{,}50\\ \mathrm{bar}
P(V=0{,}100\\ \mathrm{L})=174{,}68\\ \mathrm{bar} \approx174{,}7\\ \mathrm{bar}

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