The density of solid Al at 20^{\circ} \mathrm{C} is 2.70 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm}^{-3}, of the liquid at 660^{\circ} \mathrm{C}, 2.38 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm}^{-3}. Calculate the work done on surroundings when 100 kg of Al are heated under 1 atm pressure from 20^{\circ} to 660^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei-os do enunciado):
  • Massa de alumínio: \,m=100\\ \text{kg}.
  • Densidade do sólido a 20^\circ\text{C}: \rho_{\text{s}}=2{,}70\\ \text{g}\cdot\text{cm}^{-3}.
  • Densidade do líquido a 660^\circ\text{C}: \rho_{\ell}=2{,}38\\ \text{g}\cdot\text{cm}^{-3}.
  • Pressão externa (constante): P_{\text{ext}}=1\\ \text{atm}.
O que o problema pede:
  • Calcular o trabalho realizado sobre as vizinhanças (sobre o ambiente) quando o alumínio é aquecido sob 1\\ \text{atm} de 20^\circ\text{C} até 660^\circ\text{C}.

Passo 2

Entendendo a física de maneira simples e prática: quando aquecemos a amostra à pressão externa constante, ela expande ao fundir e ao se aquecer. O trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente devido à expansão volumétrica é o produto da pressão externa pelo aumento de volume. Em notação:
W_{\text{sobre o ambiente}} = P_{\text{ext}}\Delta V,
onde \Delta V = V_{\text{final}}-V_{\text{inicial}}. Vou usar essa fórmula diretamente. (Obs.: aqui considero trabalho positivo quando é realizado sobre o ambiente, que é o que o enunciado pede.)

Passo 3

Primeiro passo numérico: transformar a massa para gramas porque as densidades estão em \text{g}\cdot\text{cm}^{-3}.
m = 100\\ \text{kg} = 100000\\ \text{g}.
Calcular os volumes inicial e final usando V=\dfrac{m}{\rho}.
Volume do sólido a 20^\circ\text{C}:
V_{\text{inicial}}=\dfrac{100000\\ \text{g}}{2{,}70\\ \text{g}\cdot\text{cm}^{-3}} = 37037{,}037037\\ \text{cm}^{3}.
Volume do líquido a 660^\circ\text{C}:
V_{\text{final}}=\dfrac{100000\\ \text{g}}{2{,}38\\ \text{g}\cdot\text{cm}^{-3}} = 42016{,}8067227\\ \text{cm}^{3}.

Passo 4

Calcular a variação de volume em \text{cm}^{3} e converter para \text{m}^{3} (porque a pressão será usada em pascal).
\Delta V = V_{\text{final}}-V_{\text{inicial}} = 42016{,}8067227 - 37037{,}037037 = 4979{,}7696857\\ \text{cm}^{3}.
Conversão: 1\\ \text{cm}^{3}=10^{-6}\\ \text{m}^{3}. Portanto
\Delta V = 4979{,}7696857\times10^{-6}\\ \text{m}^{3} = 0{,}0049797696857\\ \text{m}^{3}.

Passo 5

Converter a pressão de \text{atm} para pascal. Tomando 1\\ \text{atm}=101325\\ \text{Pa},
P_{\text{ext}}=101325\\ \text{Pa}.

Passo 6

Calcular o trabalho:
W = P_{\text{ext}}\Delta V = 101325\times 0{,}0049797696857\\ \text{J}.
Agora a multiplicação (faço de modo que dê para conferir em prova):
W \approx 101325\times 0{,}00497977 \approx 504{,}58\\ \text{J}.
Arredondando razoavelmente (duas ou três cifras significativas), obtemos W\approx 505\\ \text{J}. Vou apresentar com uma casa decimal:
W \approx 504{,}6\\ \text{J}.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo: o trabalho é pequeno (da ordem de poucas centenas de joules) porque, apesar da massa grande, a variação volumétrica absoluta é relativamente baixa e a pressão é moderada. Dá para anotar esse procedimento e refazer rapidamente na prova: converter massas/densidades para volume, achar \Delta V, converter para \text{m}^3 e multiplicar por P.

Resposta

\;504{,}6\\ \text{J}

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