Which of the following functions f has a removable discontinuity at a ? If the discontinuity is removable, find a function g that agrees with f for x \neq a and is continuous at a.
f(x)=\llbracket \sin x \rrbracket, \quad a=\pi

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\llbracket \sin x\rrbracket, \quad a=\pi,
onde \llbracket t\rrbracket é a parte inteira (floor) de t. Precisamos verificar se f é descontínua em x=\pi e, em caso afirmativo, se essa descontinuidade é removível.

Passo 2

Calculemos o limite pela esquerda em x=\pi. Para x\to\pi^-, temos
\sin x\to 0^+\quad\Longrightarrow\quad \llbracket \sin x\rrbracket = 0,
pois um número positivo muito pequeno tem floor igual a 0. Logo
\lim_{x\to\pi^-}f(x)=0.

Passo 3

Agora o limite pela direita em x=\pi. Para x\to\pi^+,
\sin x\to 0^-\quad\Longrightarrow\quad \llbracket \sin x\rrbracket = -1,
pois um número negativo com valor absoluto pequeno tem floor igual a -1. Então
\lim_{x\to\pi^+}f(x)=-1.

Passo 4

Como
\lim_{x\to\pi^-}f(x)=0\neq -1=\lim_{x\to\pi^+}f(x),
a descontinuidade em a=\pi é do tipo salto (jump), portanto não é removível. Não existe função g que coincida com f para x\neq\pi e torne g contínua em \pi.

Resposta

f apresenta um salto em x=\pi e, assim, não tem descontinuidade removível.

Exercícios relacionados