Which of the sets in Exercises 1 through 6 are subgroups of the group \mathbb{C}^{*} of nonzero complex numbers under multiplication?

Passo 1

O enunciado pede: identificar quais dos conjuntos nos Exercícios 1 a 6 são subgrupos do grupo \mathbb{C}^{*} (os complexos não nulos, com multiplicação).
Informações relevantes fornecidas no enunciado que eu tenho agora: nenhuma das listas dos conjuntos dos Exercícios 1–6 foi enviada. Portanto não há elementos ou descrições concretas de conjuntos para eu testar diretamente.

Passo 2

Vou explicar com calma o que é preciso verificar para decidir se um subconjunto H de \mathbb{C}^{*} é um subgrupo. Isso é o que você precisa saber para aplicar na prova passo a passo.
Definição: H é um subgrupo de \mathbb{C}^{*} se H for um subconjunto não vazio de \mathbb{C}^{*} que, com a operação de multiplicação herdada, forma um grupo. Ou seja, três propriedades devem valer para todo a,b\in H:
  1. Fechamento: a\cdot b \in H.
  2. Existência de identidade: o elemento neutro 1 de \mathbb{C}^{*} pertence a H.
  3. Existência de inversos: para todo a\in H tem-se a^{-1}\in H.
Observação prática: para grupos multiplicativos como \mathbb{C}^{*} costuma-se usar testes equivalentes mais rápidos, descritos a seguir.

Passo 3

Testes úteis (mais curtos) — explico por que valem e como usar:
  • Teste do par: se H\neq\emptyset e para todo a,b\in H temos a b^{-1}\in H, então H é subgrupo.
    Por quê? Se H\neq\emptyset escolhe-se a\in H. Tomando b=a obtém-se a a^{-1}=1\in H (logo identidade está em H). Ainda, se x\in H e a\in H, então a x^{-1}\in H e tomando inverso desse elemento obtém-se x a^{-1}\in H; com escolhas apropriadas mostra-se x^{-1}\in H. Por fim, com a,b quaisquer, a b^{-1}\in H dá fechamento (multiplique o elemento apropriado).
  • Teste de fechamento + inversos: verificar explicitamente que 1\in H, que se a,b\in H então ab\in H e que a^{-1}\in H para todo a\in H. É direto e intuitivo, mas às vezes dá trabalho em exercícios.
Dica prática para a prova: normalmente é mais rápido usar o teste do par a b^{-1} porque com uma verificação única você garante fechamento e inversos juntos.

Passo 4

Como aplicar isso em exercícios concretos — passo a passo que você pode repetir na prova:
  1. Verifique se o conjunto dado está contido em \mathbb{C}^{*}. Se algum elemento for 0, já falhou (não é subgrupo).
  2. Verifique se o conjunto é não vazio. Se a descrição não deixa claro, tente exhibir um elemento (por exemplo 1 ou outro).
  3. Verifique se 1\in H. Se a descrição do conjunto impõe uma condição que exclui 1, então não é subgrupo.
  4. Use o teste a b^{-1}: pegue elementos genéricos a,b que satisfazem a propriedade do conjunto e mostre que a b^{-1} também satisfaz. Faça isso de forma algébrica, usando a condição que define o conjunto.
  5. Se o teste do par falhar, tente verificar diretamente inversos e fechamento; às vezes o inverso é fácil de caracterizar e invalida o conjunto.

Passo 5

Vou mostrar exemplos típicos (com explicações mastigadas) para fixar o método. Estes exemplos são modelos que servem para quase qualquer subconjunto que apareça num exercício sobre \mathbb{C}^{*}.
Exemplo A — \mathbb{R}^{*}=\{z\in\mathbb{C}^{*}: \Im(z)=0\} (os reais não nulos).
  • Verificação: 1\in\mathbb{R}^{*}. Se a,b são reais não nulos, ab^{-1} também é real não nulo (porque razão de reais é real, e não zero). Logo pelo teste do par é subgrupo. Conclusão: é subgrupo.
Exemplo B — \mathbb{R}_{>0}=\{x\in\mathbb{R}: x>0\} (os reais positivos).
  • Verificação: 1\in\mathbb{R}_{>0}. Produto e razão de positivos é positivo, portanto a b^{-1}>0. Pelo teste do par é subgrupo. Conclusão: é subgrupo (na verdade é o subgrupo multiplicativo normal dos positivos).
Exemplo C — S^{1}=\{z\in\mathbb{C}: |z|=1\} (a circunferência unidade).
  • Verificação: 1\in S^{1}. Se |a|=|b|=1 então |a b^{-1}|=|a|/|b|=1. Assim a b^{-1}\in S^{1}. Pelo teste do par, S^{1} é subgrupo. Conclusão: é subgrupo.
Exemplo D — \mathbb{Z}\setminus\{0\} visto como subset de \mathbb{C}^{*}.
  • Verificação: 1\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. Porém se a=2 e b=3 então a b^{-1}=\tfrac{2}{3}\notin\mathbb{Z}. Falha no fechamento. Conclusão: não é subgrupo.
Exemplo E — conjunto dos imaginários puros não nulos i\mathbb{R}^{*}=\{iy: y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\}.
  • Verificação: 1\notin i\mathbb{R}^{*} (pois 1 não é imaginário puro), então já falha a condição de identidade. Conclusão: não é subgrupo. (Mesmo sem checar fechamento, ausência de 1 já basta.)
Exemplo F — conjunto das n-ésimas raízes da unidade \mu_n=\{z\in\mathbb{C}: z^{n}=1\}.
  • Verificação: 1\in\mu_n. Se a^n=1 e b^n=1 então (a b^{-1})^{n}=a^{n} b^{-n}=1\cdot1=1. Logo a b^{-1}\in\mu_n. Conclusão: \mu_n é subgrupo finito de \mathbb{C}^{*}.
Esses exemplos mostram o tipo de raciocínio direto que você deve usar: escolha elementos genéricos que satisfaçam a propriedade e verifique a b^{-1} (ou verifique presença de 1 e inversos).

Passo 6

Resumo prático / algoritmo para aplicar rápido na prova:
  1. Confirme que o conjunto não contém 0 (se contiver, não está em \mathbb{C}^{*} e ponto).
  2. Verifique se 1 satisfaz a condição do conjunto (se não satisfaz, não é subgrupo).
  3. Pegue a,b genéricos que satisfazem a propriedade do conjunto e calcule a b^{-1}. Prove que a condição definidora do conjunto se mantém para a b^{-1}. Se sim, então é subgrupo.
  4. Se a b^{-1} for difícil, verifique separadamente fechamento e inversos.
Pequeno lembrete motivacional: muitas vezes em prova a maior parte das opções falham já na verificação de 1\in H ou na ausência de fechamento com um exemplo simples. Comece por aí para ganhar tempo.

Resposta

Impossível determinar: os conjuntos dos Exercícios 1–6 não foram fornecidos, portanto não há como afirmar quais são subgrupos de \mathbb{C}^{*}.

Exercícios relacionados