Which of the sets in Exercises 1 through 6 are subgroups of the group
of nonzero complex numbers under multiplication?
Passo 1
O enunciado pede: identificar quais dos conjuntos nos Exercícios 1 a 6 são subgrupos do grupo
(os complexos não nulos, com multiplicação).
Informações relevantes fornecidas no enunciado que eu tenho agora: nenhuma das listas dos conjuntos dos Exercícios 1–6 foi enviada. Portanto não há elementos ou descrições concretas de conjuntos para eu testar diretamente.
Informações relevantes fornecidas no enunciado que eu tenho agora: nenhuma das listas dos conjuntos dos Exercícios 1–6 foi enviada. Portanto não há elementos ou descrições concretas de conjuntos para eu testar diretamente.
Passo 2
Vou explicar com calma o que é preciso verificar para decidir se um subconjunto
de
é um subgrupo. Isso é o que você precisa saber para aplicar na prova passo a passo.
Definição:
é um subgrupo de
se
for um subconjunto não vazio de
que, com a operação de multiplicação herdada, forma um grupo. Ou seja, três propriedades devem valer para todo
:
- Fechamento:
. - Existência de identidade: o elemento neutro
de pertence a . - Existência de inversos: para todo
tem-se .
Observação prática: para grupos multiplicativos como
costuma-se usar testes equivalentes mais rápidos, descritos a seguir.
Passo 3
Testes úteis (mais curtos) — explico por que valem e como usar:
- Teste do par: se
e para todo temos , então é subgrupo.
Por quê? Seescolhe-se . Tomando obtém-se (logo identidade está em ). Ainda, se e , então e tomando inverso desse elemento obtém-se ; com escolhas apropriadas mostra-se . Por fim, com quaisquer, dá fechamento (multiplique o elemento apropriado). - Teste de fechamento + inversos: verificar explicitamente que
, que se então e que para todo . É direto e intuitivo, mas às vezes dá trabalho em exercícios.
Dica prática para a prova: normalmente é mais rápido usar o teste do par
porque com uma verificação única você garante fechamento e inversos juntos.
Passo 4
Como aplicar isso em exercícios concretos — passo a passo que você pode repetir na prova:
- Verifique se o conjunto dado está contido em
. Se algum elemento for , já falhou (não é subgrupo). - Verifique se o conjunto é não vazio. Se a descrição não deixa claro, tente exhibir um elemento (por exemplo
ou outro). - Verifique se
. Se a descrição do conjunto impõe uma condição que exclui , então não é subgrupo. - Use o teste
: pegue elementos genéricos que satisfazem a propriedade do conjunto e mostre que também satisfaz. Faça isso de forma algébrica, usando a condição que define o conjunto. - Se o teste do par falhar, tente verificar diretamente inversos e fechamento; às vezes o inverso é fácil de caracterizar e invalida o conjunto.
Passo 5
Vou mostrar exemplos típicos (com explicações mastigadas) para fixar o método. Estes exemplos são modelos que servem para quase qualquer subconjunto que apareça num exercício sobre
.
Exemplo A —
(os reais não nulos).
- Verificação:
. Se são reais não nulos, também é real não nulo (porque razão de reais é real, e não zero). Logo pelo teste do par é subgrupo. Conclusão: é subgrupo.
Exemplo B —
(os reais positivos).
- Verificação:
. Produto e razão de positivos é positivo, portanto . Pelo teste do par é subgrupo. Conclusão: é subgrupo (na verdade é o subgrupo multiplicativo normal dos positivos).
Exemplo C —
(a circunferência unidade).
- Verificação:
. Se então . Assim . Pelo teste do par, é subgrupo. Conclusão: é subgrupo.
Exemplo D —
visto como subset de
.
- Verificação:
. Porém se e então . Falha no fechamento. Conclusão: não é subgrupo.
Exemplo E — conjunto dos imaginários puros não nulos
.
- Verificação:
(pois não é imaginário puro), então já falha a condição de identidade. Conclusão: não é subgrupo. (Mesmo sem checar fechamento, ausência de já basta.)
Exemplo F — conjunto das
-ésimas raízes da unidade
.
- Verificação:
. Se e então . Logo . Conclusão: é subgrupo finito de .
Esses exemplos mostram o tipo de raciocínio direto que você deve usar: escolha elementos genéricos que satisfaçam a propriedade e verifique
(ou verifique presença de
e inversos).
Passo 6
Resumo prático / algoritmo para aplicar rápido na prova:
- Confirme que o conjunto não contém
(se contiver, não está em e ponto). - Verifique se
satisfaz a condição do conjunto (se não satisfaz, não é subgrupo). - Pegue
genéricos que satisfazem a propriedade do conjunto e calcule . Prove que a condição definidora do conjunto se mantém para . Se sim, então é subgrupo. - Se
for difícil, verifique separadamente fechamento e inversos.
Pequeno lembrete motivacional: muitas vezes em prova a maior parte das opções falham já na verificação de
ou na ausência de fechamento com um exemplo simples. Comece por aí para ganhar tempo.
Resposta
Impossível determinar: os conjuntos dos Exercícios 1–6 não foram fornecidos, portanto não há como afirmar quais são subgrupos de
.