Determine whether the given subset of the complex numbers is a subgroup of the group \mathbb{C} of complex numbers under addition.
The set \left\{\pi^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o subconjunto
S=\{\pi^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}
é um subgrupo do grupo \mathbb{C} (os números complexos) quando o grupo é tomado com a operação de adição.
Informações dadas e óbvias do enunciado:
  • O conjunto é composto por todas as potências inteiras de \pi.
  • \pi é um número real positivo e diferente de zero.
  • A operação do grupo ambientador é a adição em \mathbb{C}.

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser subgrupo de (\mathbb{C},+).
  • Um subconjunto H\subseteq\mathbb{C} é subgrupo de (\mathbb{C},+) se, com a adição usual, H for fechado e tiver inversos e identidade. Em particular, propriedades úteis e equivalentes que se usam em provas rápidas:
    1. H não-vazio e fechado sob soma e sob inverso aditivo; ou
    2. (teste prático) H não-vazio e fechado sob diferença: para todo x,y\in H tem-se x-y\in H.
  • Uma consequência imediata: qualquer subgrupo aditivo deve conter o elemento neutro da adição, isto é, 0. Vou explicar por quê: se h\in H então, como H tem inverso, -h\in H e então h+(-h)=0\in H.

Passo 3

Investigar se 0 pertence a S.
  • Observe que \pi\neq0. Para todo n\in\mathbb{Z}, \pi^{n} é um número real diferente de zero (mais precisamente, \pi^{n}>0 para todo inteiro n, porque \pi>0). Em símbolos: \text{para todo } n\in\mathbb{Z},\qquad \pi^{n}\neq0.
  • Logo 0\notin S.

Passo 4

Concluir a partir do fato de que 0\notin S.
  • Como explicado no Passo 2, qualquer subgrupo aditivo deve conter 0. Como S não contém 0, S não pode ser subgrupo de (\mathbb{C},+).
  • Isso já é suficiente para responder negativamente.

Passo 5

Uma verificação alternativa (para fixar a ideia) — inverso aditivo de um elemento.
  • Note que \pi^{0}=1\in S. Se S fosse subgrupo deveria conter o inverso aditivo de 1, que é -1.
  • Mas todos os elementos de S são positivos (todas as potências de \pi são >0), logo -1 não pode ser igual a \pi^{n} para nenhum n. Assim -1\notin S, outra forma direta de ver que S não é subgrupo.

Passo 6

Dica prática para prova: ao ver um conjunto proposto como subgrupo de um grupo aditivo, verifique primeiro se 0 está no conjunto ou se o inverso aditivo de um elemento óbvio pertence ao conjunto — isso costuma ser o caminho mais curto. Força — já era a parte mais importante.

Resposta

Não, \{\pi^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\} não é subgrupo de \mathbb{C} sob adição.

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