Determine whether the given subset of the complex numbers is a subgroup of the group
of complex numbers under addition.
The set
The set
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o subconjunto
é um subgrupo do grupo
(os números complexos) quando o grupo é tomado com a operação de adição.
Informações dadas e óbvias do enunciado:
Informações dadas e óbvias do enunciado:
- O conjunto é composto por todas as potências inteiras de
. -
é um número real positivo e diferente de zero. - A operação do grupo ambientador é a adição em
.
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser subgrupo de
.
- Um subconjunto
é subgrupo de se, com a adição usual, for fechado e tiver inversos e identidade. Em particular, propriedades úteis e equivalentes que se usam em provas rápidas: -
não-vazio e fechado sob soma e sob inverso aditivo; ou - (teste prático)
não-vazio e fechado sob diferença: para todo tem-se .
-
- Uma consequência imediata: qualquer subgrupo aditivo deve conter o elemento neutro da adição, isto é,
. Vou explicar por quê: se então, como tem inverso, e então .
Passo 3
Investigar se
pertence a
.
- Observe que
. Para todo , é um número real diferente de zero (mais precisamente, para todo inteiro , porque ). Em símbolos: - Logo
.
Passo 4
Concluir a partir do fato de que
.
- Como explicado no Passo 2, qualquer subgrupo aditivo deve conter
. Como não contém , não pode ser subgrupo de . - Isso já é suficiente para responder negativamente.
Passo 5
Uma verificação alternativa (para fixar a ideia) — inverso aditivo de um elemento.
- Note que
. Se fosse subgrupo deveria conter o inverso aditivo de , que é . - Mas todos os elementos de
são positivos (todas as potências de são ), logo não pode ser igual a para nenhum . Assim , outra forma direta de ver que não é subgrupo.
Passo 6
Dica prática para prova: ao ver um conjunto proposto como subgrupo de um grupo aditivo, verifique primeiro se
está no conjunto ou se o inverso aditivo de um elemento óbvio pertence ao conjunto — isso costuma ser o caminho mais curto. Força — já era a parte mais importante.
Resposta
Não,
não é subgrupo de
sob adição.