Determine whether the given subset of the complex numbers is a subgroup of the group
of complex numbers under addition.
The set
of rational multiples of
The set
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
do grupo
(grupo abeliano sob adição) e pede para decidir se esse subconjunto é um subgrupo de
sob a operação de adição.
Informações fornecidas:
- O grupo ambient é
com a operação aditiva (soma de complexos). - O subconjunto é
, isto é, todos os múltiplos de por números racionais.
O que se quer: decidir se
é fechado sob a adição e contém inversos (ou satisfaz outro critério de subgrupo), ou seja, se é subgrupo de
.
Passo 2
Lembrete rápido (critério prático de subgrupo para grupos abelianos sob +):
Um subconjunto de
é subgrupo se, e somente se,
Um subconjunto
-
não é vazio (ou equivalentemente ); e - para todo
vale .
Explicando cada condição de forma simples:
-
garante que há elemento neutro (importante para subgrupo). - A condição
implica fechamento sob soma (pegando com adequado) e existência de inversos: se então tomando obtém-se ; tomando (se já sabe ) ou aplicando a condição adequadamente obtém-se . Na prática, para grupos aditivos costuma-se verificar: , fechamento sob soma e fechamento sob inverso aditivo. Vou usar uma versão prática: mostrar , mostrar fechamento sob soma e mostrar que o oposto de qualquer elemento pertence ao conjunto.
Passo 3
Verificar se
.
Justificação passo a passo:
- Tomando
(pois é racional), obtemos . - Logo
.
Interpretação: o conjunto não é vazio e contém o elemento neutro da adição.
Passo 4
Verificar fechamento sob soma: se
, então
.
Detalhe passo a passo:
- Se
, então existe tal que . - Se
, então existe tal que . - Soma:
. - Como
é fechado sob adição, . - Portanto
.
Conclusão desta etapa: a soma de dois elementos de
permanece em
.
Passo 5
Verificar existência de inversos (fechamento sob oposto): se
, então
.
Detalhe passo a passo:
- Se
com , então . - Como
é fechado sob negação, . - Portanto
.
Isso mostra que todo elemento tem seu inverso aditivo dentro do conjunto.
Passo 6
Juntando os resultados:
-
. -
é fechado sob soma. -
contém o oposto aditivo de cada um de seus elementos.
Pelo critério de subgrupo, essas três propriedades (ou a fórmula única
) garantem que
é um subgrupo de
.
Comentário final didático e motivacional: intuitivamente,
é apenas uma cópia “esticada” do grupo aditivo
dentro de
— multiplicar cada racional por
preserva as propriedades de grupo (soma e inverso), então o subconjunto forma de fato um subgrupo. Isso é útil: sempre que um conjunto tem a forma
com
fixo e
subgrupo aditivo de
ou
, ele normalmente é subgrupo também (desde que
seja um escalar fixo e a multiplicação por
seja um bijetor linear sobre o conjunto de escalares racionais/reais conforme o contexto).
Resposta
Sim,
é um subgrupo de
.