Determine whether the given subset of the complex numbers is a subgroup of the group \mathbb{C} of complex numbers under addition.
The set \pi \mathbb{Q} of rational multiples of \pi

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto \pi\mathbb{Q} do grupo \mathbb{C} (grupo abeliano sob adição) e pede para decidir se esse subconjunto é um subgrupo de \mathbb{C} sob a operação de adição.
Informações fornecidas:
  • O grupo ambient é \mathbb{C} com a operação aditiva (soma de complexos).
  • O subconjunto é \pi\mathbb{Q}=\{\pi q \mid q\in\mathbb{Q}\}, isto é, todos os múltiplos de \pi por números racionais.
O que se quer: decidir se \pi\mathbb{Q} é fechado sob a adição e contém inversos (ou satisfaz outro critério de subgrupo), ou seja, se é subgrupo de (\mathbb{C},+).

Passo 2

Lembrete rápido (critério prático de subgrupo para grupos abelianos sob +):
Um subconjunto H de (G,+) é subgrupo se, e somente se,
  1. H não é vazio (ou equivalentemente 0\in H); e
  2. para todo x,y\in H vale x-y\in H.
Explicando cada condição de forma simples:
  • 0\in H garante que há elemento neutro (importante para subgrupo).
  • A condição x-y\in H implica fechamento sob soma (pegando x-y com y adequado) e existência de inversos: se x,y\in H então tomando y=x obtém-se x-x=0\in H; tomando y=0 (se já sabe 0\in H) ou aplicando a condição adequadamente obtém-se -x\in H. Na prática, para grupos aditivos costuma-se verificar: 0\in H, fechamento sob soma e fechamento sob inverso aditivo. Vou usar uma versão prática: mostrar 0\in\pi\mathbb{Q}, mostrar fechamento sob soma e mostrar que o oposto de qualquer elemento pertence ao conjunto.

Passo 3

Verificar se 0\in\pi\mathbb{Q}.
Justificação passo a passo:
  • Tomando q=0\in\mathbb{Q} (pois 0 é racional), obtemos \pi q=\pi\cdot 0=0.
  • Logo 0\in\pi\mathbb{Q}.
Interpretação: o conjunto não é vazio e contém o elemento neutro da adição.

Passo 4

Verificar fechamento sob soma: se a,b\in\pi\mathbb{Q}, então a+b\in\pi\mathbb{Q}.
Detalhe passo a passo:
  • Se a\in\pi\mathbb{Q}, então existe q_1\in\mathbb{Q} tal que a=\pi q_1.
  • Se b\in\pi\mathbb{Q}, então existe q_2\in\mathbb{Q} tal que b=\pi q_2.
  • Soma: a+b=\pi q_1+\pi q_2=\pi(q_1+q_2).
  • Como \mathbb{Q} é fechado sob adição, q_1+q_2\in\mathbb{Q}.
  • Portanto a+b=\pi(q_1+q_2)\in\pi\mathbb{Q}.
Conclusão desta etapa: a soma de dois elementos de \pi\mathbb{Q} permanece em \pi\mathbb{Q}.

Passo 5

Verificar existência de inversos (fechamento sob oposto): se a\in\pi\mathbb{Q}, então -a\in\pi\mathbb{Q}.
Detalhe passo a passo:
  • Se a=\pi q com q\in\mathbb{Q}, então -a = -(\pi q) = \pi(-q).
  • Como \mathbb{Q} é fechado sob negação, -q\in\mathbb{Q}.
  • Portanto -a=\pi(-q)\in\pi\mathbb{Q}.
Isso mostra que todo elemento tem seu inverso aditivo dentro do conjunto.

Passo 6

Juntando os resultados:
  • 0\in\pi\mathbb{Q}.
  • \pi\mathbb{Q} é fechado sob soma.
  • \pi\mathbb{Q} contém o oposto aditivo de cada um de seus elementos.
Pelo critério de subgrupo, essas três propriedades (ou a fórmula única x-y\in H) garantem que \pi\mathbb{Q} é um subgrupo de (\mathbb{C},+).
Comentário final didático e motivacional: intuitivamente, \pi\mathbb{Q} é apenas uma cópia “esticada” do grupo aditivo \mathbb{Q} dentro de \mathbb{C} — multiplicar cada racional por \pi preserva as propriedades de grupo (soma e inverso), então o subconjunto forma de fato um subgrupo. Isso é útil: sempre que um conjunto tem a forma c\cdot H com c fixo e H subgrupo aditivo de \mathbb{R} ou \mathbb{C}, ele normalmente é subgrupo também (desde que c seja um escalar fixo e a multiplicação por c seja um bijetor linear sobre o conjunto de escalares racionais/reais conforme o contexto).

Resposta

Sim, \pi\mathbb{Q} é um subgrupo de (\mathbb{C},+).

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